Paradoxa de Russell

La paradoxa de Russell descrita per Bertrand Russell en 1901 demostra que la teoria original de conjunts formulada per Cantor i Frege és contradictòria.

Suposem un conjunt que consta de conceptes que no són membres de si mateixos. Un exemple descrit, és el conjunt que consta de "idees abstractes" és membre de si mateix perquè el conjunt és ell mateix una idea abstracta, mentre que un conjunt que consta de "llibres" no és membre de si mateix perquè el conjunt no és un llibre. En la seua paradoxa, Russell preguntava (en carta escrita a Frege en 1902), si el conjunt de conceptes que no formen part d'ells mateixos formen part de si mateix. Si no forma part de si mateix, pertanyen al tipus de conjunts que sí que formen part de si mateixos.

Anomenem M a "el conjunt de tots els conjunts que no es contenen a si mateixos com a membres". Llavors, M és un element de M si i només si M no és un element de M, la qual cosa és absurd.

Un desenvolupament mes formal és presenta en Teoria Intuïtiva de Conjunts.

La paradoxa de Russell ha sigut expressada en divers tèrmit mes quotidians, el mes conegut és la paradoxa del barber

«el barber d'aquesta ciutat, que afaita tots els homes que no s'afaiten a si mateixos, s'afaita a si mateix?»

Explicació de la Paradoxa

Els conjunts són reunions de coses, per exemple de cotxes, llibres, persones, etc... i en aquest sentit els anomenarem conjunts normals.

La característica principal d'un conjunt normal és que no és contenen a si mateixos.

Però també hi ha conjunts de conjunts, com 2^M, que és el conjunt de subconjunts de M.

Un conjunt de conjunts és normal excepte si podem fer que és contingi a si mateix.

Això últim no és difícil, si tenim el conjunt de tots els coses que NO són llibres i com un conjunt no és un llibre, el conjunt de totes els coses que NO són llibres formarà part del conjunt de totes les coses que NO són llibres.

Aquests conjunts que és contenen a si mateixos s'anomenen conjunts singulars.

Està clar que un conjunt donat o be és normal o be és singular, no hi ha terme mitjà. O és conté a si mateix o no és conté.

Ara prenguem el conjunt C com el conjunt de tots els conjunts normals. Quina classe de conjunt és C? Normal o Singular?

Si és normal, estarà dins del conjunt de conjunts normals, que és C després ja no pot ser normal.

Si és singular, no pot estar dins del conjunt de conjunts normals, després no pot estar en C, però si no està en C llavors és normal.

Qualsevol alternativa ens produeix una contradicció, aquesta és la paradoxa.

Vegeu també

• Teoria de conjunts