Cúbica torçada

En matemàtiques, un cúbica torçada és una corba raciona derivable C de grau tres a l' espai projectiu P3. És un exemple fonamental d'una corba torçada. És essencialment única, tret d'una transformació projectiva (és a dir, la cúbica torçada). Generalment es considera que és l'exemple més senzill d'una [[varietat projectiva]] que no és i lineal ni una [[hipersuperfície]], i es classifica com a tal a la majoria de llibres de text de geometria algebraica. És el cas tridimensional de la [[corba normal racional]], i és la imatge d'una [[superfície de Veronese]] de grau tres a la recta projectiva.

Definició

El més sezill és definir-la de forma paramètrica com la imatge de l'apicació

la qual assigna a la [[coordenada homogènia|coordenades homogènies]] ${\displaystyle }$ el valor

Dins un atles de l'espai projectiu, la aplicació és senzillament la [[corba de moment]]

És a dir, és la clausura per un únic punt a l'infinit de la corba afí .${\displaystyle }$

De forma equivalent, és una [[varietat projectiva]], definida com el zero de tres quàdriques derivables. Donades les coordenades homogènies [X:Y:Z:W] de P3, és el zero dels tres pollinomis homogenis

Es pot comprovar que aquestes tres formes quadràtiques esdevenen idènticament nul·les quan es fa servir la parameterització explícita de dalt; allò és, substituint x3 per X, etcètera.

De fet, l'[[ideal homogeni]] de la cúbica torçada C és generat per tres formes algebraiques de grau dos de P3. Els generadors de l'ideal són

Propietats

La cúbica torçada té un assortiment de propietats elementals:

• És el conjunt-teorètic del la intersecció completa de <math>XZ-Y2</math> i <math>Z(YW-Z^2)-W(XW-YZ)</math>, però no una intersecció completa esquema-teorètica o ideal-teorètica  (l'ideal que en resulta no és radical, donat que conté <math>(YW-Z^2)^2</math>  però no conté <math>YW-Z^2</math> ).
• Donats quatre punts qualsevulla de C generen tot P3.
• Donats sis punts de P3 sense que n'hi hagi quatre de coplanars, hi ha una única cúbica torçada que hi passa.
• La projecció de C sobre un pla a partir d'un punt sobre una línia tangent a C dóna una [[cúbica cuspidal]].
• La projecció a partir d'un punt sobre una línia secant a C dóna una [[cúbica nodal]].
• La projecció a partir d'un punt sobre C dóna una secció cònica.