Independència lineal

Sigui S un subconjunt no buit d'un mòdul M sobre un anell K. Hom diu que els elements del conjunt S són linealment independents i el conjunt és lliure o linealment independent, si qualsevol combinació lineal finita d'elements de S de resultat zero és trivial, és a dir, si:

$\sum _{i\in I}\lambda _{i}s_{i}=0,\quad I\subseteq \mathbb {N} ,\quad \lambda _{i}\in K,\quad s_{i}\in S$

implica que:

$\lambda _{i}=0,\quad \forall i\in I$

Si els elements de S no són linealment independents, hom diu que són linealment dependents i el conjunt S es diu lligat o linealment dependent.

Propietats

• Tot subconjunt d'un conjunt lliure és lliure.
• Tot conjunt que contingui un conjunt lligat és lligat.
• Si el conjunt S conté el zero del mòdul, aleshores és lligat. En efecte, encara que l'element de l'anell $\lambda \in K$ no sigui zero, el producte $\lambda 0$ torna a ser el zero del mòdul i pot estar en qualsevol combinació lineal d'elements de S sense alterar-ne el valor.
• Si un dels elements del conjunt S és combinació lineal finita dels altres, aleshores S és un conjunt lligat. En efecte, si:

  $s=\sum _{i\in I}\lambda _{i}s_{i},\quad I\subseteq \mathbb {N} ,\quad \lambda _{i}\in K,\quad s,s_{i}\in S$

podem posar

$1s-\sum _{i\in I}\lambda _{i}s_{i}=0,\quad I\subseteq \mathbb {N} ,\quad \lambda _{i}\in K,\quad s,s_{i}\in S$

i el conjunt S és lligat. La propietat recíproca, però, no és en general certa, si no és que K és un cos.

Independència lineal en espais vectorials

Si K és un cos, aleshores M és un espai vectorial sobre K i la independència lineal de conjunts vectors implica més coses que en el cas més general dels mòduls:

• Si S és un conjunt lligat, és a dir, que els seus elements són linealment dependents, és aquí equivalent al fet que, almenys, un dels seus elements sigui combinació lineal dels altres. En efecte, si S és lligat, hi ha alguna combinació lineal:

  $\sum _{i\in I}\lambda _{i}s_{i}=0$

amb no tots els escalars $\lambda _{i}$ nuls. Posem, sense perdre generalitat, que $\lambda _{1}\neq 0$. Tenim:

$\lambda _{1}s_{1}+\sum _{i\in I\backslash \{1\}}\lambda _{i}s_{i}=0$

i, per tant,

$s_{1}=\sum _{i\in I\backslash \{1\}}-{\frac {\lambda _{i}}{\lambda _{1}}}s_{i}$

• Si $n\in \mathbb {N}$ és la dimensió (finita) de l'espai M, qualsevol conjunt de n vectors linealment independents n'és una base.
• Si n és la dimensió finita de l'espai M, no pot haver-hi conjunts de més de n vectors linealment independents.

Aquestes dues últimes afirmacions són una conseqüència immediata del teorema de substitució de Steinitz.

Exemple

Considerem el ℤ-mòdul lliure $\mathbb {Z} ^{2}$ i els seus elements:

$a={\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}},b={\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}},c={\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}}.$

Com que tenim la combinació lineal 3a + 3b − 2c = 0, els elements a, b i c són linealment dependents. Però cap d'aquests és combinació lineal dels altres dos. En efecte, cadascuna de les expressions:

$a=\lambda _{1}b+\mu _{1}c,\quad b=\lambda _{2}a+\mu _{2}c,\quad c=\lambda _{3}a+\mu _{3}b$

implica respectivament les igualtats:

$2=3\mu _{1},\quad 2=3\mu _{2},\quad 3=2\lambda _{3}{\text{ i }}3=2\mu _{3}$

que són impossibles de resoldre amb els $\lambda _{i},\mu _{j}$ dins dels nombres enters.