Espai compacte: diferència entre les revisions

Contingut suprimit Contingut afegit

En línia

Revisió del 15:22, 4 març 2016

En topologia, un subconjunt $K$ d'un espai topològic $X$ es diu compacte si tot recobriment obert seu té un subrecobriment finit, és a dir, si per a tot $\{U_{i}\}_{i\in I}$ tal que $U_{i}$ són tots oberts i $\cup _{i\in I}U_{i}\supset K$ , hi ha $F\subset I$ finit tal que $\cup _{i\in F}U_{i}\supset K$ .

Notar que, en particular, $K$ podria ser $X$ . En aquest cas es parla d'un espai compacte . Es verifica llavors que $K\subset X$ és compacte si i només si és un espai compacte per a la topologia traça.

El teorema de Heine-Borel estableix que els subconjunts compactes de $\mathbb {R} ^{n}$ són els conjunts tancats i acotats.

Un resultat important diu que $K$ és compacte si i només si tota xarxa continguda en $K$ té un punt d'acumulació.

Algunes Propietats

Es compleix que si $X$ és varietat afí, aleshores $K$ és connex per camins. Es compleix a més que tot subconjunt acotat d'un precompacto serà també paracompacto.

Compacitat en Espais Mètric

Si s'ha de $(X,d)$ és un espai mètric, llavors, per $K\subset X$ , les següents proposicions són totes equivalents:

$K$ és compacte
$K$ és seqüencialment compacte
$K$ és complet i totalment tancat

A més, s'ha de $K$ serà sempre tancat i acotat.

El teorema de Heine-Borel dóna una caracterització útil en els espais vectorials normats de dimensió finita: $K$ és compacte si i només si és tancat i fitat. Tanmateix, en dimensió infinita, això no és veritat, i, de fet, en aquest context la bola unitària tancada mai serà compacta, pel mateix^{[Cal aclariment]}, és molt més difícil verificar compacitat. Un resultat important en els espais de funcions contínues és el teorema de Arzelá-Ascoli.

Importància dels Conjunts Compactes

Els conjunts compactes tenen gran importància en diversos resultats de l'anàlisi, sent un dels més importants el teorema de Weierstrass: tota funció real contínua definida en un espai compacte assoleix el seu màxim i el mínim.

Un altre resultat important és el teorema de Heine, que indica que tota funció contínua el domini sigui un conjunt compacte, serà uniformement contínua.

Vegeu també

@@ Línia 19: / Línia 19: @@
 A més, s'ha de <math> K </math> serà sempre tancat i acotat.
-El [[teorema de Heine-Borel]] dóna una caracterització útil en els [[espais vectorials normats]] de dimensió finita: <math> K </math> és compacte si i només si és tancat i fitat. No obstant això, en dimensió infinita, això no és veritat, i, de fet, en aquest context la bola unitària tancada mai serà compacta, pel mateix{{què}}, és molt més difícil verificar compacitat. Un resultat important en els espais de funcions contínues és el [[teorema de Arzelá-Ascoli]].
+El [[teorema de Heine-Borel]] dóna una caracterització útil en els [[espais vectorials normats]] de dimensió finita: <math> K </math> és compacte si i només si és tancat i fitat. Tanmateix, en dimensió infinita, això no és veritat, i, de fet, en aquest context la bola unitària tancada mai serà compacta, pel mateix{{què}}, és molt més difícil verificar compacitat. Un resultat important en els espais de funcions contínues és el [[teorema de Arzelá-Ascoli]].
 == Importància dels Conjunts Compactes ==