Funció bijectiva: diferència entre les revisions
Cap resum de modificació |
|||
Línia 2: | Línia 2: | ||
En [[matemàtiques]], una '''bijecció''', o una '''funció bijectiva''' és una [[funció (matemàtiques)|funció]] ''f'' de un [[conjunt]] ''X'' a un conjunt ''Y'' amb la propietat de que, per a cada ''y'' de ''Y'', hi ha exactament un ''x'' de ''X'' tal que <br> ''f''(''x'') = ''y''. |
En [[matemàtiques]], una '''bijecció''', o una '''funció bijectiva''' és una [[funció (matemàtiques)|funció]] ''f'' de un [[conjunt]] ''X'' a un conjunt ''Y'' amb la propietat de que, per a cada ''y'' de ''Y'', hi ha exactament un ''x'' de ''X'' tal que <br> ''f''(''x'') = ''y''. |
||
O bé, ''f'' es bijectiva si és una correspondència tal que |
O bé, ''f'' es bijectiva si és una correspondència tal que totes les imatges tenen antiimatge, és a dir és una ''' ([[funció injectiva]]) i al mateix temps tots els elements del conjunt imatge són imatge d'algun element del conjunt origen és a dir és una ([[funció suprajectiva]]). |
||
Per exemple, consideris la funció successor, definida a partir del conjunt dels [[Nombre enter|Enters]] de <math>\Z</math> en <math>\Z</math>, de forma que a cada enter ''x'' li fa correspondre |
Per exemple, consideris la funció successor, definida a partir del conjunt dels [[Nombre enter|Enters]] de <math>\Z</math> en <math>\Z</math>, de forma que a cada enter ''x'' li fa correspondre l'enter successor(''x'') = x + 1. Un altre exemple pot ser la funció sumdif que a cada parella (''x'',''y'') de nombres reals els associa a la parella sumdif(''x'',''y'') = (''x'' + ''y'', ''x'' − ''y''). |
||
De una funció bijectiva també |
De una funció bijectiva també se'n diu una '''[[permutació]]'''. Tot i que això es fa servir més habitualment quant ''X'' = ''Y''. El conjunt de totes les bijeccions de ''X'' en ''Y'' es denota com a ''X''<math>{}\leftrightarrow{}</math>''Y''. |
||
Les funcions bijectives juguen un paper fonamental en moltes àrees de les matempatiques, per exemple en la definició de [[isomorfisme]]s (i conceptes relacionats com els [[homeomorfisme]]s i els [[difeomorfisme]]s), [[grup de permutacions]], [[aplicació projectiva]],i molts altres. |
Les funcions bijectives juguen un paper fonamental en moltes àrees de les matempatiques, per exemple en la definició de [[isomorfisme]]s (i conceptes relacionats com els [[homeomorfisme]]s i els [[difeomorfisme]]s), [[grup de permutacions]], [[aplicació projectiva]],i molts altres. |
||
Línia 21: | Línia 21: | ||
==Bijeccions i cardinalitat== |
==Bijeccions i cardinalitat== |
||
Si ''X'' i ''Y'' són conjunts [[conjunt finit|finits]], llavors hi ha una bijecció entre els dos conjunts ''X'' i ''Y'' [[si i només si]] ''X'' i ''Y'' tenen el mateix nombre |
Si ''X'' i ''Y'' són conjunts [[conjunt finit|finits]], llavors hi ha una bijecció entre els dos conjunts ''X'' i ''Y'' [[si i només si]] ''X'' i ''Y'' tenen el mateix nombre d'elements. De fet, en la [[teoria axiomàtica de conjunts]], això es pren com a la autèntica ''definició'' de "mateix nombre d'elements", i generalitzant aquesta definició al cas de conjunts [[infinit]]s porta al concepte de [[nombre cardinal]], una forma de distingir les diferents grandàries dels [[conjunts infinits]]. |
||
==Exemples i contraexemples== |
==Exemples i contraexemples== |
||
Línia 33: | Línia 33: | ||
== Propietats == |
== Propietats == |
||
* Una funció ''f'' de la [[línia real]] '''R''' en '''R''' és bijectiva si i només si la seva gràfica és intersecada per qualsevol línia horitzontal exactament en un únic punt. |
* Una funció ''f'' de la [[línia real]] '''R''' en '''R''' és bijectiva si i només si la seva gràfica és intersecada per qualsevol línia horitzontal exactament en un únic punt. |
||
* Si ''X'' és un conjunt, llavors les funcions bijectives de ''X'' en si mateix, juntament amb |
* Si ''X'' és un conjunt, llavors les funcions bijectives de ''X'' en si mateix, juntament amb l'operació de composició de funcions (<sup><small>o</small></sup>), formen un [[grup (matemàtiques)|grup]], el [[grup simètric]] de ''X'', el qual es denota com a S(''X''), ''S''<sub>''X''</sub>, o ''X''! (la última notació es llegeix "''X'' [[factorial]]"). |
||
* Per a un subconjunt ''A'' of del domini i un subconjunt ''B'' del codomini es té: |
* Per a un subconjunt ''A'' of del domini i un subconjunt ''B'' del codomini es té: |
||
:|''f''(''A'')| = |''A''| i |''f''<sup>−1</sup>(''B'')| = |''B''|. |
:|''f''(''A'')| = |''A''| i |''f''<sup>−1</sup>(''B'')| = |''B''|. |
||
Línia 40: | Línia 40: | ||
:# ''f'' is suprajectiva. |
:# ''f'' is suprajectiva. |
||
:# ''f'' is injectiva. |
:# ''f'' is injectiva. |
||
*Com a mínim per a qualsevol conjunt finit ''S'', hi ha una bijecció entre el conjunt de totes les possibles [[ordenacions totals]] dels seus elements i el conjunt de totes les bijeccions de ''S'' en ''S''. Això és el mateix que dir que el nombre de [[permutacions]] (un altre nom per a referir-se a les bijeccions) dels elements de ''S'' és el mateix que el nombre de ordenacions totals |
*Com a mínim per a qualsevol conjunt finit ''S'', hi ha una bijecció entre el conjunt de totes les possibles [[ordenacions totals]] dels seus elements i el conjunt de totes les bijeccions de ''S'' en ''S''. Això és el mateix que dir que el nombre de [[permutacions]] (un altre nom per a referir-se a les bijeccions) dels elements de ''S'' és el mateix que el nombre de ordenacions totals d'aquest conjunt --anomenat, ''n!''. |
||
Revisió del 19:35, 23 des 2007
En matemàtiques, una bijecció, o una funció bijectiva és una funció f de un conjunt X a un conjunt Y amb la propietat de que, per a cada y de Y, hi ha exactament un x de X tal que
f(x) = y.
O bé, f es bijectiva si és una correspondència tal que totes les imatges tenen antiimatge, és a dir és una (funció injectiva) i al mateix temps tots els elements del conjunt imatge són imatge d'algun element del conjunt origen és a dir és una (funció suprajectiva).
Per exemple, consideris la funció successor, definida a partir del conjunt dels Enters de en , de forma que a cada enter x li fa correspondre l'enter successor(x) = x + 1. Un altre exemple pot ser la funció sumdif que a cada parella (x,y) de nombres reals els associa a la parella sumdif(x,y) = (x + y, x − y).
De una funció bijectiva també se'n diu una permutació. Tot i que això es fa servir més habitualment quant X = Y. El conjunt de totes les bijeccions de X en Y es denota com a XY.
Les funcions bijectives juguen un paper fonamental en moltes àrees de les matempatiques, per exemple en la definició de isomorfismes (i conceptes relacionats com els homeomorfismes i els difeomorfismes), grup de permutacions, aplicació projectiva,i molts altres.
Composició i inverses
Una funció f es bijectiva si i només si la seva relació inversa f −1 és una funció. En aquest cas, f −1 també és bijectiva.
La composició g o f de dues funcions bijectives f XYi g YZ és una funció bijectiva. La inversa de g o f és (g o f)−1 = (f −1) o (g−1).
Per altra banda, si la composició g o f de dues funcions es bijectiva, només es pot assegurar que f és injectiva i que g és suprajectiva.
Una relació f de X en Y és una funció bijectiva si i només si hi ha un altre relació g de Y en X tal que g o f és la funció identitat de X, i f o g és la funció identitat de Y. En conseqüència, els dos conjunts tenen la mateixa cardinalitat.
Bijeccions i cardinalitat
Si X i Y són conjunts finits, llavors hi ha una bijecció entre els dos conjunts X i Y si i només si X i Y tenen el mateix nombre d'elements. De fet, en la teoria axiomàtica de conjunts, això es pren com a la autèntica definició de "mateix nombre d'elements", i generalitzant aquesta definició al cas de conjunts infinits porta al concepte de nombre cardinal, una forma de distingir les diferents grandàries dels conjunts infinits.
Exemples i contraexemples
- Per a qualsevol conjunt X, la funció identitat idX de Xen X, definida per idX(x) = x, és bijectiva.
- La funció f de la línia real R en R definida per f(x) = 2x + 1 és bijectiva, donat que per a cada y hi ha un únic x = (y − 1)/2 tal que f(x) = y.
- La funció exponencial g : R R,amb g(x) = ex, no és bijectiva: per exemple, no hi ha cap x de R tal que g(x) = −1, provant que g no és suprajectiva. En canvi si es canvia el codomini per que sigui el conjunt dels nombres reals positius R+ = (0,+∞), llavors g esdevé bijectiva; la seva inversa és la funció logaritme natural ln.
- La funció h : R [0,+∞) amb h(x) = x² no és bijectiva: per exemple, h(−1) = h(+1) = 1, per tant h no és injectiva. Ara bé, si el domini també es canvia per [0,+∞), llavors h esdevé bijectiva; la seva inversa és la funció arrel quadrada positiva.
- no és una bijecció perquè −1, 0, i +1 són dins del domini i a tots dos els correspon el 0.
- no és una bijecció perquè π/3 i 2π/3 són dins els domini i a tots dos els correspon (√3)/2.
Propietats
- Una funció f de la línia real R en R és bijectiva si i només si la seva gràfica és intersecada per qualsevol línia horitzontal exactament en un únic punt.
- Si X és un conjunt, llavors les funcions bijectives de X en si mateix, juntament amb l'operació de composició de funcions (o), formen un grup, el grup simètric de X, el qual es denota com a S(X), SX, o X! (la última notació es llegeix "X factorial").
- Per a un subconjunt A of del domini i un subconjunt B del codomini es té:
- |f(A)| = |A| i |f−1(B)| = |B|.
- Si X i Y són conjunts finits amb la mateixa cardinalitat, i f: X → Y, llavors les següents afirmacions són equivalents:
- f és una bijecció.
- f is suprajectiva.
- f is injectiva.
- Com a mínim per a qualsevol conjunt finit S, hi ha una bijecció entre el conjunt de totes les possibles ordenacions totals dels seus elements i el conjunt de totes les bijeccions de S en S. Això és el mateix que dir que el nombre de permutacions (un altre nom per a referir-se a les bijeccions) dels elements de S és el mateix que el nombre de ordenacions totals d'aquest conjunt --anomenat, n!.