816
modificacions
Independència lineal: diferència entre les revisions
Correcció de redactat
Cap resum de modificació |
(Correcció de redactat) |
||
|
{{MF|data=febrer de 2014}}
{{FR|data=febrer de 2014}}Sigui ''S'' un [[subconjunt]] no [[conjunt buit|buit]] d'un [[mòdul]] ''M'' sobre un [[anell (matemàtiques)|anell]] ''K''. Hom diu que els elements del conjunt ''S'' són '''linealment independents''' i el conjunt és '''lliure''' o '''linealment independent''', si qualsevol [[combinació lineal]] finita d'elements de ''S'' de resultat zero és trivial, és a dir, si:▼
▲Sigui ''S'' un [[subconjunt]] no [[conjunt buit|buit]] d'un [[mòdul]] ''M'' sobre un [[anell (matemàtiques)|anell]] ''K''. Hom diu que els elements del conjunt ''S'' són '''linealment independents''' i el conjunt és '''lliure''' o '''linealment independent''', si qualsevol [[combinació lineal]] finita d'elements de ''S'' de resultat zero és trivial, és a dir, si:
:<math> \sum_{i \in I} \lambda_{i} s_{i} = 0,\quad
I \subseteq \mathbb{N},\quad
\lambda_{i} = 0,\quad \forall i \in I</math>
Si els elements de ''S'' no són linealment independents, hom diu que són '''linealment dependents''' i el conjunt ''S'' es diu
== Propietats ==
\lambda_{i} \in K,\quad
s, s_{i} \in S</math>
:
::<math>1s - \sum_{i \in I} \lambda_{i} s_{i} = 0,\quad
I \subseteq \mathbb{N},\quad
*Si ''S'' és un conjunt lligat, és a dir, que els seus elements són linealment dependents, és aquí equivalent al fet que, almenys, un dels seus elements sigui combinació lineal dels altres. En efecte, si ''S'' és lligat, hi ha alguna combinació lineal:
*:<math>\sum_{i \in I} \lambda_{i} s_{i} = 0</math>
:amb no tots els escalars <math>\lambda_i</math> nuls.
::<math>\lambda_{1} s_{1} + \sum_{i \in I\backslash\{1\}} \lambda_{i} s_{i} = 0</math>
:i, per tant,
== Exemple ==
:<math>a = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix},
b = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix},
c = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}.</math>
Com que
:<math>
a = \lambda_{1} b + \mu_{1} c,\quad
| |||