Independència lineal: diferència entre les revisions
Correcció de redactat |
mCap resum de modificació |
||
Línia 1: | Línia 1: | ||
{{MF|data=febrer de 2014}} |
{{MF|data=febrer de 2014}} |
||
{{FR|data=febrer de 2014}}Sigui ''S'' un [[subconjunt]] no [[conjunt buit|buit]] d'un [[mòdul]] ''M'' sobre un [[anell (matemàtiques)|anell]] ''K'' |
{{FR|data=febrer de 2014}}Sigui ''S'' un [[subconjunt]] no [[conjunt buit|buit]] d'un [[mòdul]] ''M'' sobre un [[anell (matemàtiques)|anell]] ''K,'' hom diu que els elements del conjunt ''S'' són '''linealment independents''' i el conjunt és '''lliure''' o '''linealment independent''', si qualsevol [[combinació lineal]] finita d'elements de ''S'' de resultat zero és trivial, és a dir, si: |
||
:<math> \sum_{i \in I} \lambda_{i} s_{i} = 0,\quad |
:<math> \sum_{i \in I} \lambda_{i} s_{i} = 0,\quad |
||
I \subseteq \mathbb{N},\quad |
I \subseteq \mathbb{N},\quad |
Revisió del 14:39, 6 feb 2017
L'article o secció necessita millores de format. |
Aquest article o secció no cita les fonts o necessita més referències per a la seva verificabilitat. |
Sigui S un subconjunt no buit d'un mòdul M sobre un anell K, hom diu que els elements del conjunt S són linealment independents i el conjunt és lliure o linealment independent, si qualsevol combinació lineal finita d'elements de S de resultat zero és trivial, és a dir, si:
implica que:
Si els elements de S no són linealment independents, hom diu que són linealment dependents i el conjunt S es diu lligat o linealment dependent.
Propietats
- Tot subconjunt d'un conjunt lliure és lliure.
- Tot conjunt que contingui un conjunt lligat és lligat.
- Si el conjunt S conté el zero del mòdul, aleshores és lligat. En efecte, encara que l'element de l'anell no sigui zero, el producte torna a ser el zero del mòdul i pot estar en qualsevol combinació lineal d'elements de S sense alterar-ne el valor.
- Si un dels elements del conjunt S és combinació lineal finita dels altres, aleshores S és un conjunt lligat. En efecte, si:
- es pot posar
- i el conjunt S és lligat. La propietat recíproca, però, no és en general certa, si no és que K és un cos.
Independència lineal en espais vectorials
Si K és un cos, aleshores M és un espai vectorial sobre K i la independència lineal de conjunts vectors implica més coses que en el cas més general dels mòduls:
- Si S és un conjunt lligat, és a dir, que els seus elements són linealment dependents, és aquí equivalent al fet que, almenys, un dels seus elements sigui combinació lineal dels altres. En efecte, si S és lligat, hi ha alguna combinació lineal:
- amb no tots els escalars nuls. Es podria dir, sense perdre generalitat, que . Es té:
- i, per tant,
- Si és la dimensió (finita) de l'espai M, qualsevol conjunt de n vectors linealment independents n'és una base.
- Si n és la dimensió finita de l'espai M, no pot haver-hi conjunts de més de n vectors linealment independents.
Aquestes dues últimes afirmacions són una conseqüència immediata del teorema de substitució de Steinitz.
Exemple
Considerar el ℤ-mòdul lliure i els seus elements:
Com que es té la combinació lineal 3a + 3b − 2c = 0, els elements a, b i c són linealment dependents. Però cap d'aquests és combinació lineal dels altres dos. En efecte, cadascuna de les expressions:
implica respectivament les igualtats:
que són impossibles de resoldre amb els dins dels nombres enters.