Binomi de Newton

El Binomi de Newton o teorema del binomi és una fórmula que serveix per a calcular la potència $n$ d'un binomi $(a+b)$. És per tant una generalització de les fórmules elementals $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ i $(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$. Aquestes dues formen part del que s'anomenen Identitats notables, i la primera d'elles admet una demostració gràfica elemental en termes d'àrees de quadrats i rectangles. El cas general, que és pròpiament el Binomi de Newton, utilitza nombres combinatoris, i diu:

${(a+b)}^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}\,b^{k}$,

on el coeficient binomial ${n \choose k}$ és el nombre combinatori definit així : ${n \choose k}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}$, i es llegeix $n$ sobre $k$.

Exemples:

• per $n=2$ : $(a+b)^{2}={2 \choose 0}a^{2}+{2 \choose 1}ab+{2 \choose 2}b^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

• per $n=3$ : $(a+b)^{3}={3 \choose 0}a^{3}+{3 \choose 1}a^{2}b+{3 \choose 2}ab^{2}+{3 \choose 3}b^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$

Quan tenim $(a-b)^{n}$, n'hi ha prou amb escriure-ho com $(a+(-b))^{n}$, amb el que s'obté $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$, $(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}$ i, en general,

${(a-b)}^{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}a^{n-k}\,b^{k}$.

Demostració

Raonament combinatori

Tenint en compte que en l'expressió $a=(x+y)^{n}$ a es pot escriure com el producte de n binomis, $a=s_{1}s_{2}\cdots s_{n}$, on cada $s_{i}=x+y$. El desenvolupament de a és la suma de tots els productes formats agafant un terme – ja sigui x o y – de cada $s_{i}$. Per exemple, el terme $x^{n}$ en el desenvolupament de a s'obté seleccionant x en cada $s_{i}$.

El coeficient que multiplica cada terme del desenvolupament de a queda determinat per la quantitat de formes diferents que hi ha per triar termes $s_{i}$ tals que el seu producte és de la mateixa forma que el terme (excloent el coeficient). En el cas de $t=x^{n-1}y$. t es pot formar a a a base d'agafar y d'un dels $s_{i}$ i x de tota la resta. Hi ha n formes de seleccionar un $s_{i}$ per obtenir la y; per tant t s'obté de n formes diferents en el desenvolupament de a, per tant el seu coeficient és n. En general, per $t=x^{n-k}y^{k}$, hi ha

${n \choose k}$

Formes diferents de seleccionar els $s_{i}$ per obtenir els ys (ja que k ys se seleccionen a partir de n $s_{i}$), i per tant aquest ha de ser el coeficient per t.

Demostració algebraica

Una altra forma de demostrar el teorema binomial és per inducció. Quant n = 0, es té

$(a+b)^{0}=1=\sum _{k=0}^{0}{0 \choose k}a^{0-k}b^{k}.$

Per hipòtesi d'inducció se suposa que el teorema és veritat quant l'exponent val m. Llavors per n = m + 1

$(a+b)^{m+1}=a(a+b)^{m}+b(a+b)^{m}\,$

$=a\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}a^{m-k}b^{k}+b\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}a^{m-j}b^{j}$

Aplicant la propietat distributiva

$=\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}a^{m-j}b^{j+1}$

Traient fora del sumatori el terme k = 0

$=a^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}a^{m-j}b^{j+1}$

fent j = k − 1

$=a^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{k=1}^{m+1}{m \choose k-1}a^{m-k+1}b^{k}$

Traient fora del sumatori de la dreta el terme k = m + 1

$=a^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k-1}a^{m+1-k}b^{k}+b^{m+1}$

Combinant els sumatoris

$=a^{m+1}+b^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}\left[{m \choose k}+{m \choose k-1}\right]a^{m+1-k}b^{k}$

Aplicant la regla de Pascal

$=a^{m+1}+b^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m+1 \choose k}a^{m+1-k}b^{k}$

Afegint dins dels sumatori els termes m + 1.

$=\sum _{k=0}^{m+1}{m+1 \choose k}a^{m+1-k}b^{k}$

Vegeu també

• Triangle de Tartaglia

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Binomi de Newton