Matriu invertible: diferència entre les revisions

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure
Contingut suprimit Contingut afegit
Cap resum de modificació
Ampliació i exemplificació
Línia 1: Línia 1:
Donada una [[Matriu_%28matem%C3%A0tiques%29|matriu]] quadrada <math>A</math> de dimensió <math>n</math>, es diu que <math>A</math> és '''invertible''' ('''regular''' o no singular) si existeix una altra matriu <math>B</math> tal que
Donada una [[Matriu_%28matem%C3%A0tiques%29|matriu]] quadrada <math>A</math> d'ordre <math>n</math>, <math>A\in M_{n\times n}(\mathbb{R})</math>, es diu que <math>A</math> és '''invertible''' ('''regular''' o no singular) si existeix una altra matriu <math>B\in M_{n\times n}(\mathbb{R})</math> tal que


<math>A B = B A = I_n</math>
<math>A B = I_n = B A</math>,


on <math>I_n</math> és la matriu identitat de dimensió <math>n</math>. La multiplicació emprada aquí és la multiplicació ordinària de matrius.
on <math>I_n</math> és la matriu identitat d'ordre <math>n</math>.


Per exemple, les matrius <math>A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math> i <math>B=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math> són inverses l'una de l'altra atès que:
La matriu, si existeix, és única i s'anomena la matriu 'inversa' d'<math>A</math>, i es denota com
<math>A^{-1}</math>.


<math>AB=BA=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\cdot
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I_3</math>

La matriu inversa d'<math>A</math>, si existeix, es denota per <math>A^{-1}</math>.

==== Observacions ====
La construcció de la matriu <math>A^{-1}</math> que satisfà la igualtat donada més amunt s'anomena inversió de matrius.
La construcció de la matriu <math>A^{-1}</math> que satisfà la igualtat donada més amunt s'anomena inversió de matrius.



Revisió del 18:05, 4 jul 2017

Donada una matriu quadrada d'ordre , , es diu que és invertible (regular o no singular) si existeix una altra matriu tal que

,

on és la matriu identitat d'ordre .

Per exemple, les matrius i són inverses l'una de l'altra atès que:

La matriu inversa d', si existeix, es denota per .

Observacions

La construcció de la matriu que satisfà la igualtat donada més amunt s'anomena inversió de matrius.

Quan una matriu no és invertible es diu que és no invertible o singular. En aquest cas es poden considerar les pseudoinverses.

Inverses generalitzades

Un concepte relacionat amb el d'inversa d'una matriu és el d'inversa generalitzada o pseudoinversa (i, en particular, la pseudoinversa de Moore-Penrose). Mentre la inversa només es pot calcular per algunes matrius, les inverses generalitzades es poden calcular per a qualsevol matriu.