Matriu invertible: diferència entre les revisions
Cap resum de modificació |
Ampliació i exemplificació |
||
Línia 1: | Línia 1: | ||
Donada una [[Matriu_%28matem%C3%A0tiques%29|matriu]] quadrada <math>A</math> |
Donada una [[Matriu_%28matem%C3%A0tiques%29|matriu]] quadrada <math>A</math> d'ordre <math>n</math>, <math>A\in M_{n\times n}(\mathbb{R})</math>, es diu que <math>A</math> és '''invertible''' ('''regular''' o no singular) si existeix una altra matriu <math>B\in M_{n\times n}(\mathbb{R})</math> tal que |
||
<math>A B = |
<math>A B = I_n = B A</math>, |
||
on <math>I_n</math> és la matriu identitat |
on <math>I_n</math> és la matriu identitat d'ordre <math>n</math>. |
||
Per exemple, les matrius <math>A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math> i <math>B=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math> són inverses l'una de l'altra atès que: |
|||
La matriu, si existeix, és única i s'anomena la matriu 'inversa' d'<math>A</math>, i es denota com |
|||
<math>A^{-1}</math>. |
|||
<math>AB=BA=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot |
|||
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}= |
|||
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\cdot |
|||
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = |
|||
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I_3</math> |
|||
La matriu inversa d'<math>A</math>, si existeix, es denota per <math>A^{-1}</math>. |
|||
==== Observacions ==== |
|||
La construcció de la matriu <math>A^{-1}</math> que satisfà la igualtat donada més amunt s'anomena inversió de matrius. |
La construcció de la matriu <math>A^{-1}</math> que satisfà la igualtat donada més amunt s'anomena inversió de matrius. |
||
Revisió del 18:05, 4 jul 2017
Donada una matriu quadrada d'ordre , , es diu que és invertible (regular o no singular) si existeix una altra matriu tal que
,
on és la matriu identitat d'ordre .
Per exemple, les matrius i són inverses l'una de l'altra atès que:
La matriu inversa d', si existeix, es denota per .
Observacions
La construcció de la matriu que satisfà la igualtat donada més amunt s'anomena inversió de matrius.
Quan una matriu no és invertible es diu que és no invertible o singular. En aquest cas es poden considerar les pseudoinverses.
Inverses generalitzades
Un concepte relacionat amb el d'inversa d'una matriu és el d'inversa generalitzada o pseudoinversa (i, en particular, la pseudoinversa de Moore-Penrose). Mentre la inversa només es pot calcular per algunes matrius, les inverses generalitzades es poden calcular per a qualsevol matriu.