Matriu invertible: diferència entre les revisions
Cap resum de modificació |
Cap resum de modificació |
||
Línia 15: | Línia 15: | ||
La matriu inversa d'<math>A</math>, si existeix, es denota per <math>A^{-1}</math>. |
La matriu inversa d'<math>A</math>, si existeix, es denota per <math>A^{-1}</math>. |
||
===== Observacions<ref>Llerena, I., Miró-Roig, R. M., Matrius i vectors. Barcelona: Universitat de Barcelona 2010.</ref> ===== |
===== Observacions<ref>Llerena, I., Miró-Roig, R. M., ''Matrius i vectors''. Barcelona: Universitat de Barcelona 2010.</ref> ===== |
||
* Si existeix, la matriu inversa d'una matriu <math>A</math> és única. Efectivament, suposem que <math>B</math> i <math>C</math> són matrius inverses de <math>A</math>, aleshores: |
* Si existeix, la matriu inversa d'una matriu <math>A</math> és única. Efectivament, suposem que <math>B</math> i <math>C</math> són matrius inverses de <math>A</math>, aleshores: |
||
<center><math>B=BI_n=B(AC)=(BA)C=I_nC=C</math></center> |
<center><math>B=BI_n=B(AC)=(BA)C=I_nC=C</math></center> |
Revisió del 19:48, 4 jul 2017
Donada una matriu quadrada d'ordre , , es diu que és invertible (regular o no singular) si existeix una altra matriu tal que
,
on és la matriu identitat d'ordre .
Per exemple, les matrius i són inverses l'una de l'altra atès que:
La matriu inversa d', si existeix, es denota per .
Observacions[1]
- Si existeix, la matriu inversa d'una matriu és única. Efectivament, suposem que i són matrius inverses de , aleshores:
- No totes les matrius quadrades tenen inversa, només tenen inversa aquelles matrius tals que el seu rang sigui , .
- Si una matriu té inversa, aleshores no pot existir una altra matriu , quadrada o no, tal que . En efecte:
- Si són dues matrius invertibles, es compleix:
La construcció de la matriu que satisfà la igualtat donada més amunt s'anomena inversió de matrius.
Quan una matriu no és invertible es diu que és no invertible o singular. En aquest cas es poden considerar les pseudoinverses.
Inverses generalitzades
Un concepte relacionat amb el d'inversa d'una matriu és el d'inversa generalitzada o pseudoinversa (i, en particular, la pseudoinversa de Moore-Penrose). Mentre la inversa només es pot calcular per algunes matrius, les inverses generalitzades es poden calcular per a qualsevol matriu.
Bibliografia
- ↑ Llerena, I., Miró-Roig, R. M., Matrius i vectors. Barcelona: Universitat de Barcelona 2010.