Matriu invertible: diferència entre les revisions
Cap resum de modificació |
Cap resum de modificació |
||
Línia 3: | Línia 3: | ||
<center><math>A B = I_n = B A</math>,</center> |
<center><math>A B = I_n = B A</math>,</center> |
||
on <math>I_n</math> és la matriu identitat d'ordre <math>n</math>. |
on <math>I_n</math> és la matriu identitat d'ordre <math>n</math>. |
||
Per exemple, les matrius <math>A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math> i <math>B=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math> són inverses l'una de l'altra atès que: |
Per exemple, les matrius <math>A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math> i <math>B=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math> són inverses l'una de l'altra atès que: |
||
Línia 26: | Línia 26: | ||
Quan una matriu no és invertible es diu que és no invertible o singular. En aquest cas es poden considerar les [[pseudoinversa|pseudoinverses]]. |
Quan una matriu no és invertible es diu que és no invertible o singular. En aquest cas es poden considerar les [[pseudoinversa|pseudoinverses]]. |
||
=== apartat 2 === |
|||
== Inverses generalitzades == |
== Inverses generalitzades == |
Revisió del 19:53, 28 nov 2017
Donada una matriu quadrada d'ordre , , es diu que és invertible (regular o no singular) si existeix una altra matriu tal que
on és la matriu identitat d'ordre .
Per exemple, les matrius i són inverses l'una de l'altra atès que:
La matriu inversa d', si existeix, es denota per .
- Observacions[1]
- Si existeix, la matriu inversa d'una matriu és única. Efectivament, suposem que i són matrius inverses de , aleshores:
- No totes les matrius quadrades tenen inversa, només tenen inversa aquelles matrius tals que el seu rang sigui , .
- Si una matriu té inversa, aleshores no pot existir una altra matriu , quadrada o no, tal que . En efecte:
- Si són dues matrius invertibles, es compleix:
La construcció de la matriu que satisfà la igualtat donada més amunt s'anomena inversió de matrius.
Quan una matriu no és invertible es diu que és no invertible o singular. En aquest cas es poden considerar les pseudoinverses.
Inverses generalitzades
Un concepte relacionat amb el d'inversa d'una matriu és el d'inversa generalitzada o pseudoinversa (i, en particular, la pseudoinversa de Moore-Penrose). Mentre la inversa només es pot calcular per algunes matrius, les inverses generalitzades es poden calcular per a qualsevol matriu.
Referències
- ↑ Llerena, I., Miró-Roig, R. M., Matrius i vectors, Universitat de Barcelona, Barcelona, 2010, p. 71, 72.