Usuari:Brill/proves/Equació general còniques

Equacions generals

$Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+2Dx+2Ey+F=0$

Còniques amb centre

Si l'equació de la cònica és homogènia, això és, de la forma

$Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+F=0$

aleshores, el punt $(x,y)$ és de la cònica si, i només si, ho és el punt $(-x,-y)$ i la cònica té simetria central, amb centre al punt $(0,0)$. Per tant, si la cònica té centre al punt $(\alpha ,\beta )$, ha d'haver-hi un canvi de coordenades:

${\begin{alignedat}{1}x&=x'-\alpha \\y&=y'-\beta \end{alignedat}}$

que transformi l'equació general en una equació homogènia. Ha de ser:

$A(x'-\alpha )^{2}+2B(x'-\alpha )(y'-\beta )+C(y'-\beta )^{2}+2D(x'-\alpha )+2E(y'-\beta )+F=0$

que, després d'operar dóna:

$Ax'^{2}+2Bx'y'+Cy'^{2}-2A\alpha x'-2B\beta x'-2B\alpha y'-2C\beta y'+2Dx'+2Ey'+A\alpha ^{2}+2B\alpha \beta +C\beta ^{2}-2D\alpha -2E\beta +F=0$

$Ax'^{2}+2Bx'y'+Cy'^{2}-2(A\alpha +B\beta -D)x'-2(B\alpha +C\beta -E)y'+A\alpha ^{2}+2B\alpha \beta +C\beta ^{2}-2D\alpha -2E\beta +F=0$

El punt $(\alpha ,\beta )$ és, doncs, la solució del sistema lineal

$\left\{{\begin{alignedat}{1}A\alpha +B\beta &=D\\B\alpha +C\beta &=E\end{alignedat}}\right.$

amb solució única si

No s'ha pogut entendre (funció '\begin{array}' desconeguda): {\displaystyle \left| \begin{array}{cc} A & B \\ B & C \end{alignat} \right| = A C - B^2 \neq 0 }