Mètode de la bisecció: diferència entre les revisions
Cap resum de modificació |
|||
Línia 39: | Línia 39: | ||
||left}} |
||left}} |
||
== |
== Demostració de la convergència == |
||
Sigui ''r'' una arrel continguda en l'interval ''[a,b]''. L'interval de cerca en el pas ''n''-èssim té longitud |
Sigui ''r'' una arrel continguda en l'interval ''[a,b]''. L'interval de cerca en el pas ''n''-èssim té longitud |
Revisió del 11:31, 8 jul 2019
En matemàtiques, el mètode de la bisecció és un algorisme de cerca d'arrels d'una funció contínua en un interval. L'algorisme consisteix en dividir repetidament l'interval en dos subintervals i seleccionar el que conté l'arrel, fins trobar l'arrel o una aproximació de la mateixa.
Introducció
El mètode es basa en el teorema del valor intermedi (TVI), segons el qual, tota funció contínua f en un interval tancat [a,b] s'anul·la en algun punt del interval si els signes de f(a) i f(b) són contraris.
Descripció del mètode:
- Es comprova que
- Es calcula el punt mitjà m de l'interval [a,b] i s'avalua f(m).
- Si f(m)=0, m és una arrel. Si no, es comprova que f(m) té signe contrari que f(a) ó f(b).
- Es redefineix l'interval [a,b] com [a,m] ó [m,b] segons s'haja determinat en quin d'aquests intervals es produeix un canvi de signe.
- Es repeteix el procés amb l'interval fins arribar a la precisió desitjada.
Si existeixen més d'una arrel, no es pot assegurar a quina d'aquestes convergeix el mètode.
Algorisme
Es defineixen tres successions :
on els valors inicials venen donats per:
Es pot provar que les tres successions convergeixen a la mateixa arrel:[1]
Demostració de la convergència
Sigui r una arrel continguda en l'interval [a,b]. L'interval de cerca en el pas n-èssim té longitud
Com que és troba sempre a l'interval de cerca,
Prenent límits,
Fita de l'error
L'error comès al realitzar iteracions del mètode és[1]
Per aconseguir un error inferior a , el nombre d'iteracions a realitzar ha de ser
Vegeu també
Bibliografia
- Richard L Burden, J. Douglas Faires (2000), "Numerical Analysis, (7th Ed)", Brooks/Cole. ISBN 0-534-38216-9.
- Corliss, George (1977), "Which root does the bisection algorithm find?", SIAM Review 19 (2): 325–327, ISSN 1095-7200, DOI 10.1137/1019044
Referències
- ↑ 1,0 1,1 Llopis, José L. «Método de la bisección» (en espanyol). https://www.matesfacil.com/. ISSN: 2659-8442 [Consulta: 22 febrer 2019].