Topologia quocient

En matemàtiques, la topologia quocient és una topologia definida sobre el conjunt quocient generat per una relació d'equivalència sobre un espai topològic.

Definició

Siga $(X,{\mathcal {T}})$ un espai topològic i ${\mathcal {R}}$ una relació d'equivalència sobre $X$. El conjunt quocient $X/{\mathcal {R}}$ és el conjunto de les classes d'equivalència dels elements de $X$:

$X/{\mathcal {R}}=\{[x]:x\in X\}$

Els conjunts oberts que conforman l'anomenada topologia quocient sobre $X/{\mathcal {R}}$ són els conjunts de las classes d'equivalència les unions de les quals són conjunts oberts en $X$:

${\mathcal {T}}_{\mathcal {R}}=\{U\subseteq Y:\bigcup _{[x]\in U}[x]\subseteq {\mathcal {T}}_{X}\}.$

Definició equivalent: sigui $p:X\rightarrow X/{\mathcal {R}}$ l'aplicació projecció donada per $p(x)=[x]$, aleshores es defineixen els oberts de ${\mathcal {T}}_{\mathcal {R}}$ com els conjunts $U\subseteq Y$ tals que $p^{-1}(U)\subseteq X$ és obert en $X$.

Propietats

• L'aplicació $p:X\rightarrow X/{\mathcal {R}}$ que envia a cada element a la seva classe d'equivalència corresponent és continua.
• Siguen $p\colon X\to X/{\mathcal {R}}$ i $\varphi \colon X/{\mathcal {R}}\to Y$. L'aplicació $\varphi$ és continua si, i només si, la composició $\varphi \circ p\colon X\to Y$ és continua.

Exemples

• El tor com a conjunt quocient: Sobre $I^{2}=[0,1]\times [0,1]$ es defineix la relació d'equivalència $(x,0){\mathcal {R}}(x,1)$ y $(0,y){\mathcal {R}}(1,y)$. L'espai quocient $I^{2}/{\mathcal {R}}$ és homeomorf a un tor.

Tor

• La cinta de Möbius com a conjunto quocient: Sobre $I^{2}$ es defineix la relació d'equivalència $(0,y){\mathcal {R}}(1,1-y)$. L'espai quocient $I^{2}/{\mathcal {R}}$ és homeomorf a una cinta de Möbius.

Banda de Möbius

• La botella de Klein com a conjunt quocient: Sobre $I^{2}$ es defineix la relació d'equivalència $(x,0){\mathcal {R}}(x,1)$ i $(0,y){\mathcal {R}}(1,1-y)$. L'espai quocient $I^{2}/{\mathcal {R}}$ és homeomorf a una botella de Klein (es difícil de visualitzar ja que no és homeomorf a un subespaio de $\mathbb {R} ^{3}$).

• L'esfera com a conjunt quocient: Sobre $\{(x,y):|x|+|y|\leq 1\}$ es defineix la relació d'equivalència $(x,y){\mathcal {R}}(-x,y)$ per a $(x,y)$ de la frontera. L'espai quocient corresponent és homeomorf a una esfera.