Topologia quocient: diferència entre les revisions

Contingut suprimit Contingut afegit

En línia

Revisió del 02:09, 17 nov 2019

En matemàtiques, la topologia quocient és una topologia definida sobre el conjunt quocient generat per una relació d'equivalència sobre un espai topològic.

Definició

Siga $(X,{\mathcal {T}}_{X})$ un espai topològic i ${\mathcal {R}}$ una relació d'equivalència sobre $X$ . El conjunt quocient $X/{\mathcal {R}}$ és el conjunt de les classes d'equivalència dels elements de $X$ :

X/{\mathcal {R}}=\{[x]:x\in X\}

Els conjunts oberts que conforman l'anomenada topologia quocient sobre $X/{\mathcal {R}}$ són els conjunts de las classes d'equivalència les unions de les quals són conjunts oberts en $X$ :

{\mathcal {T}}_{\mathcal {R}}=\{U\subseteq X/{\mathcal {R}}:\bigcup _{[x]\in U}[x]\subseteq {\mathcal {T}}_{X}\}.

Definició equivalent: sigui $p:X\rightarrow X/{\mathcal {R}}$ l'aplicació projecció donada per $p(x)=[x]$ , aleshores es defineixen els oberts de ${\mathcal {T}}_{\mathcal {R}}$ com els conjunts $U\subseteq Y$ tals que $p^{-1}(U)\subseteq X$ és obert en $X$ .

Propietats

L'aplicació $p:X\rightarrow X/{\mathcal {R}}$ que envia a cada element a la seva classe d'equivalència corresponent és continua.^[1]
Siguen $p\colon X\to X/{\mathcal {R}}$ la projecció i $\varphi \colon X/{\mathcal {R}}\to Y$ . L'aplicació $\varphi$ és continua si, i només si, la composició $\varphi \circ p\colon X\to Y$ és continua.^[1]

Exemples

El tor com a conjunt quocient:^[1] Sobre $I^{2}=[0,1]\times [0,1]$ es defineix la relació d'equivalència $(x,0){\mathcal {R}}(x,1)$ i $(0,y){\mathcal {R}}(1,y)$ . L'espai quocient $I^{2}/{\mathcal {R}}$ és homeomorf a un tor.

La cinta de Möbius com a conjunt quocient:^[1] Sobre $I^{2}$ es defineix la relació d'equivalència $(0,y){\mathcal {R}}(1,1-y)$ . L'espai quocient $I^{2}/{\mathcal {R}}$ és homeomorf a una cinta de Möbius.

La ampolla de Klein com a conjunt quocient:^[2] Sobre $I^{2}$ es defineix la relació d'equivalència $(x,0){\mathcal {R}}(x,1)$ i $(0,y){\mathcal {R}}(1,1-y)$ . L'espai quocient $I^{2}/{\mathcal {R}}$ és homeomorf a una ampolla de Klein (es difícil de visualitzar ja que no és homeomorf a un subespai de $\mathbb {R} ^{3}$ ).

L'esfera com a conjunt quocient:^[3] Sobre $\{(x,y):|x|+|y|\leq 1\}$ es defineix la relació d'equivalència $(x,y){\mathcal {R}}(-x,y)$ per a $(x,y)$ de la frontera. L'espai quocient corresponent és homeomorf a una esfera.

Vegeu també

Bibliografia

Robles Corbalá Carlos Alberto, "Topología general", Universitat de Sonora.
Weisstein, Eric W., «Espai qocient» a MathWorld (en anglès).
Espai quocient a PlanetMath

Referències

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 Llopis, José L. «Espai topològic quocient» (en castellà). Matesfacil. ISSN: 2659-8442 [Consulta: 18 setembre 2019].
↑ A. Stolz, Stephan «Topología algebraica» (en anglès). Universitat de Notre Dame [Consulta: 18 setembre 2019].
↑ «Classificació de superfícies» (en anglès). Universitat de Chicago [Consulta: 18 setembre 2019].

[mtf-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 Llopis, José L. «Espai topològic quocient» (en castellà). Matesfacil. ISSN: 2659-8442 [Consulta: 18 setembre 2019].

[2] A. Stolz, Stephan «Topología algebraica» (en anglès). Universitat de Notre Dame [Consulta: 18 setembre 2019].

[3] «Classificació de superfícies» (en anglès). Universitat de Chicago [Consulta: 18 setembre 2019].

[1]

[2]

[3]

@@ Línia 1: / Línia 1: @@
-[[Fitxer:Banda_Möbius.png|thumb|La [[cinta de Möbius]] es pot veure com un espai topològic quocient (veure el segon exemple).]]
+[[Fitxer:Banda_Möbius.png|miniatura|La [[cinta de Möbius]] es pot veure com un espai topològic quocient (veure el segon exemple).]]
 En [[matemàtiques]], la '''topologia quocient''' és una topologia definida sobre el [[conjunt quocient]] generat per una [[relació d'equivalència]] sobre un [[espai topològic]].
@@ Línia 15: / Línia 15: @@
 == Exemples ==
 *El [[Tor (geometria)|tor]] com a conjunt quocient:<ref name="mtf"></ref> Sobre <math>I^2 = [0,1]\times [0,1]</math> es defineix la relació d'equivalència <math>(x,0)\mathcal{R} (x,1)</math> i <math>(0,y)\mathcal{R} (1,y)</math>. L'espai quocient <math>I^2 /\mathcal{R}</math> és [[homeomorfisme|homeomorf]] a un tor.
-:[[Image:Construccion Toro.png|center|Tor]]
+:[[Fitxer:Construccion Toro.png|center|Tor]]
 *La [[cinta de Möbius]] com a conjunt quocient:<ref name="mtf"></ref> Sobre <math>I^2</math> es defineix la relació d'equivalència <math>(0,y)\mathcal{R} (1,1-y)</math>. L'espai quocient <math>I^2 /\mathcal{R}</math> és homeomorf a una cinta de Möbius.
-:[[Image:Möbius2.png|center|Banda de Möbius]]
+:[[Fitxer:Möbius2.png|center|Banda de Möbius]]
 *La [[ampolla de Klein]] com a conjunt quocient:<ref>{{ref-publicació |cognom=A. Stolz |nom=Stephan |article=Topología algebraica |url=https://www3.nd.edu/~stolz/2016S_Math60440/Alg_Top_2016.pdf |consulta= 18 de setembre de 2019 |llengua=anglès|publicació=[[Universitat de Notre Dame]]}}</ref> Sobre <math>I^2</math> es defineix la relació d'equivalència  <math>(x,0)\mathcal{R} (x,1)</math> i <math>(0,y)\mathcal{R} (1,1-y)</math>. L'espai quocient <math>I^2 /\mathcal{R}</math> és homeomorf a una ampolla de Klein (es difícil de visualitzar ja que no és homeomorf a un subespai de <math>\mathbb{R}^3</math>).
-:[[Image:Fundamental_polygon_of_the_Klein_bottle.png|150px|center]]
+:[[Fitxer:Fundamental_polygon_of_the_Klein_bottle.png|150px|center]]
 *L'[[esfera]] com a conjunt quocient:<ref>{{ref-publicació |nom=Chen Hui George Teo |article=Classificació de superfícies |url=http://www.math.uchicago.edu/~may/VIGRE/VIGRE2011/REUPapers/Teo.pdf |consulta= 18 de setembre de 2019 |llengua=anglès|publicació=[[Universitat de Chicago]]}}</ref> Sobre <math>\{(x,y):|x|+|y| \leq 1\}</math> es defineix la relació d'equivalència <math>(x,y)\mathcal{R} (-x,y)</math> per a <math>(x,y)</math> de la [[frontera (topologia)|frontera]]. L'espai quocient corresponent és homeomorf a una esfera.