Fórmules de Viète: diferència entre les revisions
m bot: - (lògica)|formules]] + (lògica)|fórmules]] |
m neteja i estandardització de codi |
||
Línia 22: | Línia 22: | ||
== Exemple == |
== Exemple == |
||
Per al [[polinomi|polinomi de segon grau]] <math>P(X)=aX^2 + bX + c</math>, les fórmules de Viète estableixen que les solucions <math>x_1</math> i <math>x_2</math> de l'equació <math>P(X)=0</math> satisfan |
Per al [[polinomi|polinomi de segon grau]] <math>P(X)=aX^2 + bX + c</math>, les fórmules de Viète estableixen que les solucions <math>x_1</math> i <math>x_2</math> de l'equació <math>P(X)=0</math> satisfan |
||
:<math> x_1 + x_2 = - \frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a}.</math> |
:<math> x_1 + x_2 = - \frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a}.</math> |
||
Línia 36: | Línia 35: | ||
== Vegeu també == |
== Vegeu també == |
||
* [[Identitats de Newton]] |
* [[Identitats de Newton]] |
||
* [[Polinomi simètric elemental]] |
* [[Polinomi simètric elemental]] |
||
Línia 43: | Línia 41: | ||
== Referències == |
== Referències == |
||
*{{ref-llibre |
*{{ref-llibre |
||
| cognom = Vinberg |
| cognom = Vinberg |
Revisió del 09:24, 16 maig 2020
En matemàtiques, més específicament en àlgebra, les fórmules de Viète, anomenades així en honor de François Viète, són fórmules que relacionen les arrels d'un polinomi amb els seus coeficients.
Les fórmules
Si
És un polinomi de grau amb coeficients complexos (per tant, els nombres són complexos amb ), pel teorema fonamental de l'àlgebra té (no necessàriament diferents) arrels complexes Les fórmules de Viète estableixen que
En altres paraules, la suma de tots els possibles productes de arrels de (amb els índexs en cada producte en ordre creixent de forma que no hi hagi repeticions) és igual a
Per a cada
Les fórmules de Viète també es compleixen de forma més general per a polinomis amb coeficients en qualsevol anell commutatiu, en la mesura en què aquest polinomi de grau tingui arrels en aquest anell.
Exemple
Per al polinomi de segon grau , les fórmules de Viète estableixen que les solucions i de l'equació satisfan
La primera d'aquestes equacions es pot er servir per a trobar el mínim (o el màxim) de P. Vegeu Equació de segon grau.
Demostració
Les fórmules de Viète es poden demostrar escrivint la igualtat
(que és certa donat que són totes les arrels d'aquest polinomi), multiplicant els factors del cantó dret, i identificant els coeficients de cada potència de
Vegeu també
- Identitats de Newton
- Polinomi simètric elemental
- Polinomi simètric
- Propietats de les arrels dels polinomis
Referències
- Vinberg, E. B.. A course in algebra. American Mathematical Society, Providence, R.I, 2003. ISBN 0821834134.
- Djukić, Dušan, i cols.. The IMO compendium: a collection of problems suggested for the International Mathematical Olympiads, 1959-2004. Springer, New York, NY, 2006. ISBN 0387242996.