Integral curvilínia

En matemàtiques, una integral curvilínia (de vegades anomenada integral de camí) és una integral on la funció a integrar cal avaluar-la al llarg d'una corba. En el cas d'una corba tancada s'anomena també integral de contorn.

La funció a integrar pot ser un camp escalar o un camp vectorial. El valor de la integral curvilínia és la suma dels valors del camp a tots els punts de la corba, ponderats per alguna funció escalar de la corba (normalment la longitud de l'arc) o, pel cas d'un camp vectorial, el producte escalar del vector dels camp a cada punt de la corba per un vector diferencial de la corba. Aquesta ponderació (i el fet que la corba sigui a l'espai) distingeix la integral curvilínia de les simples integrals definides en un interval. Moltes fórmules senzilles de la física (la del treball mecànic per exemple, $W={\vec {F}}\cdot {\vec {d}}$) tenen expressions contínues anàlogues en termes d'integrals curvilínies ($W=\int _{C}{\vec {F}}\cdot d{\vec {s}}$). La integral curvilínia determina el treball fet sobre un objecte que es mou, per exemple, en un camp elèctric o gravitacional.

La trajectòria d'una partícula al llarg d'una corba dins d'un camp vectorial. A la part inferior es mostren els vectors que troba la partícula al llarg del seu recorregut. La suma del productes escalars d'aquests vectors amb el vector tangent a la corba a cada punt de la trajectòria serà el resultat de la integral de camí.

Intuïtivament es pot interpretar aquesta integral curvilínia pensant que el camp gravitacional aplica a l'objecte una força diferent en cada punt (la magnitud i la direcció d'aquesta força depèn de la distància del punt a les masses que generen el camp gravitacional). En moure's l'objecte (tot resseguint la corba) una distància infinitesimal ds, el camp gravitatori fa sobre ell un treball igual al producte de la força pel desplaçament ds pel cosinus de l'angle entre el vector força i el vector desplaçament. La suma de tots aquests treballs infinitesimals és el valor de la integral curvilínia. La integral curvilínia es pot calcular amb mètodes numèrics, per exemple aproximant els desplaçaments infinitesimals per desplaçaments petits però finits o transformant-la en una integral definida en un interval i llavors aplicant les tècniques per resoldre aquest tipus d'integrals.

Integral curvilínia d'un camp escalar

Per un camp escalar f : U ⊆ Rⁿ $\to$ R, la integral curvilínia al llarg d'una corba C ⊂ U es defineix com

$\int _{C}f\,ds=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} (t))|\mathbf {r} '(t)|\,dt.$

on r: [a, b] $\to$ C és una parametrització arbitrària de la corba C tal que r(a) i r(b) donen els punts extrems de C.

De la funció f es diu que és l'integrand, la corba C és el domini d'integració, i el símbol ds es pot interpretar com la longitud de l'arc elemental. Les integrals curvilínies dels camps escalars no depenen de la parametrització triada r.

Integral curvilínia d'un camp vectorial

Per un camp vectorial F : U ⊆ Rⁿ $\to$ Rⁿ, la integral al llarg d'una corba C ⊂ U, en la direcció de r, es defineix com

$\int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt.$

on r: [a, b] $\to$ C és una parametrització arbitrària de la corba C tal que r(a) i r(b) donen els punts extrems de C.

Les integrals curvilínies de camps vectorials són independents de la parametrització r pel que fa al valor absolut, però depenen de la seva orientació. En concret, invertint l'orientació de la parametrització, canvia el signe de la integral curvilínia.

Independència del camí

Article principal: Teorema del gradient

Si un camp vectorial F és el gradient d'un camp escalar G, és a dir,

$\nabla G=\mathbf {F} ,$

Llavors la derivada de la funció composició de G i r(t) és

${\frac {dG(\mathbf {r} (t))}{dt}}=\nabla G(\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)=\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)$

Lo qual resulta ser l'integrand de la integral curvilínia de F sobre r(t). D'aquí resulta que, donat un camí C , llavors

$\int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt=\int _{a}^{b}{\frac {dG(\mathbf {r} (t))}{dt}}\,dt=G(\mathbf {r} (b))-G(\mathbf {r} (a)).$

En paraules, la integral de F sobre C depèn només dels valors de G als punts r(b) i r(a) i per tant és independent del camí entre ells.

Per aquest motiu, la integral curvilínia d'una camp vectorial que és gradient d'un camp escalar, es diu que és, independent del camí.

Aplicacions

Les integrals curvilínies tenen moltes aplicacions a la física. Per exemple, el treball aplicat a una partícula que es desplaça seguint una corba C en l'interior d'un camp de forces representat pel camp vectorial F és la integral curvilínia de F sobre C.

Vegeu també

• Integral de superfície
• Residu (anàlisi complexa)

Enllaços externs

• A pictoral explanation of the path integral
• Solved problems on path integrals
• Contour Integrals Module by John H. Mathews