Diferència entre revisions de la pàgina «Integral curvilínia»

Salta a la navegació Salta a la cerca
m
neteja i estandardització de codi
m (neteja i estandardització de codi)
m (neteja i estandardització de codi)
En [[matemàtiques]], una '''integral curvilínia''' (de vegades anomenada '''integral de camí''') és una [[integral]] on la [[funció (matemàtiques)|funció]] a integrar cal avaluar-la al llarg d'una [[corba]]. En el cas d'una corba tancada s'anomena també '''integral de contorn'''.
 
La funció a integrar pot ser un [[camp escalar]] o un [[camp vectorial]]. El valor de la integral curvilínia és la suma dels valors del camp a tots els punts de la corba, ponderats per alguna funció escalar de la corba (normalment la [[longitud de l'arc]]) o, pel cas d'un camp vectorial, el [[producte escalar]] del vector dels camp a cada punt de la corba per un [[vector diferencial]] de la corba.
Aquesta ponderació (i el fet que la corba sigui a l'espai) distingeix la integral curvilínia de les simples integrals definides en un [[interval (matemàtiques)|interval]]. Moltes fórmules senzilles de la física (la del [[treball físic|treball mecànic per exemple]], <math>W=\vec F\cdot\vec d</math>) tenen expressions contínues anàlogues en termes d'integrals curvilínies (<math>W=\int_C \vec F\cdot d\vec s</math>). La integral curvilínia determina el treball fet sobre un objecte que es mou, per exemple, en un camp elèctric o gravitacional.
 
 
==Integral curvilínia d'un camp vectorial==
 
Per un [[camp vectorial]] '''F''' : ''U'' ⊆ '''R'''<sup>''n''</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>''n''</sup>, la integral al llarg d'una [[corba]] ''C'' ⊂ ''U'', en la direcció de '''r''', es defineix com
 
:<math>\int_C \mathbf{F}(\mathbf{r})\cdot\,d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt = \int_a^b \frac{dG(\mathbf{r}(t))}{dt}\,dt = G(\mathbf{r}(b)) - G(\mathbf{r}(a)).</math>
 
En paraules, la integral de '''F''' sobre ''C'' depèn només dels valors de ''G'' als punts '''r'''(''b'') i '''r'''(''a'') i per tant és independent del camí entre ells.
 
Per aquest motiu, la integral curvilínia d'una camp vectorial que és gradient d'un camp escalar, es diu que és, ''independent del camí''.
 
== Aplicacions ==
Les integrals curvilínies tenen moltes aplicacions a la física. Per exemple, el treball aplicat a una partícula que es desplaça seguint una corba ''C'' en l'interior d'un camp de forces representat pel camp vectorial '''F''' és la integral curvilínia de '''F''' sobre ''C''.
 
2.195.262

modificacions

Menú de navegació