Espai compacte

En topologia, un subconjunt $K$ d'un espai topològic $X$ es diu compacte si tot recobriment obert seu té un subrecobriment finit, és a dir, si per a tot $\{U_{i}\}_{i\in I}$ tal que $U_{i}$ són tots oberts i $\cup _{i\in I}U_{i}\supset K$, hi ha $F\subset I$ finit tal que $\cup _{i\in F}U_{i}\supset K$.

Notar que, en particular, $K$ podria ser $X$. En aquest cas es parla d'un espai compacte . Es verifica llavors que $K\subset X$ és compacte si i només si és un espai compacte per a la topologia traça.

El teorema de Heine-Borel estableix que els subconjunts compactes de $\mathbb {R} ^{n}$ són els conjunts tancats i acotats.

Un resultat important diu que $K$ és compacte si i només si tota xarxa continguda en $K$ té un punt d'acumulació.

Algunes propietats

Es compleix que si $X$ és varietat afí, aleshores $K$ és connex per camins. Es compleix a més que tot subconjunt acotat d'un precompacto serà també paracompacto.

Compacitat en espais mètrics

Si s'ha de $(X,d)$ és un espai mètric, llavors, per $K\subset X$, les següents proposicions són totes equivalents:

1. $K$ és compacte
2. $K$ és seqüencialment compacte
3. $K$ és complet i totalment tancat

A més, s'ha de $K$ serà sempre tancat i acotat.

El teorema de Heine-Borel dóna una caracterització útil en els espais vectorials normats de dimensió finita: $K$ és compacte si i només si és tancat i fitat. Tanmateix, en dimensió infinita, això no és veritat, i, de fet, en aquest context la bola unitària tancada mai serà compacta, pel mateix, és molt més difícil verificar compacitat. Un resultat important en els espais de funcions contínues és el teorema de Arzelá-Ascoli.

Importància dels Conjunts Compactes

Els conjunts compactes tenen gran importància en diversos resultats de l'anàlisi, sent un dels més importants el teorema de Weierstrass: tota funció real contínua definida en un espai compacte assoleix el seu màxim i el mínim.

Un altre resultat important és el teorema de Heine, que indica que tota funció contínua el domini sigui un conjunt compacte, serà uniformement contínua.

Vegeu també

• Espai localment compacte.
• Suport compacte.