Tensor d'inèrcia: diferència entre les revisions
m Bot elimina espais sobrants |
m neteja i estandardització de codi |
||
Línia 1: | Línia 1: | ||
El tensor d'inèrcia és un [[tensor]] simètric d'ordre 2 que caracteritza la inèrcia rotacional d'un [[sòlid rígid]]. Expressat en una base de l'espai, pren la forma d'una matriu simètrica, on els elements de la diagonal són el [[Moment d'inèrcia|moments d'inèrcia]] i els elements de fora la diagonal són els [[productes d'inèrcia]]. |
El tensor d'inèrcia és un [[tensor]] simètric d'ordre 2 que caracteritza la inèrcia rotacional d'un [[sòlid rígid]]. Expressat en una base de l'espai, pren la forma d'una matriu simètrica, on els elements de la diagonal són el [[Moment d'inèrcia|moments d'inèrcia]] i els elements de fora la diagonal són els [[productes d'inèrcia]]. |
||
== Definició == |
== Definició == |
||
Suposem que tenim un sòlid rígid, i elegim un punt de l'espai <math>A</math> (que pot o no pertànyer al sòlid) a on calcularem el tensor d'inèrcia. Per referir-nos als punts de l'espai farem servir la base <math>\{ \mathbf{ e}_1, \mathbf{ e}_2, \mathbf{e}_3\}</math> que té origen de coordenades <math>A</math>. D'aquesta manera, qualsevol punt del sòlid es pot escriure com: |
Suposem que tenim un sòlid rígid, i elegim un punt de l'espai <math>A</math> (que pot o no pertànyer al sòlid) a on calcularem el tensor d'inèrcia. Per referir-nos als punts de l'espai farem servir la base <math>\{ \mathbf{ e}_1, \mathbf{ e}_2, \mathbf{e}_3\}</math> que té origen de coordenades <math>A</math>. D'aquesta manera, qualsevol punt del sòlid es pot escriure com: |
||
{{equació|<math>\boldsymbol x = x_1 \mathbf{ e}_1 + x_2 \mathbf{ e}_2 + x_3\mathbf{e}_3</math>}} |
{{equació|<math>\boldsymbol x = x_1 \mathbf{ e}_1 + x_2 \mathbf{ e}_2 + x_3\mathbf{e}_3</math>}} |
Revisió del 10:24, 31 ago 2020
El tensor d'inèrcia és un tensor simètric d'ordre 2 que caracteritza la inèrcia rotacional d'un sòlid rígid. Expressat en una base de l'espai, pren la forma d'una matriu simètrica, on els elements de la diagonal són el moments d'inèrcia i els elements de fora la diagonal són els productes d'inèrcia.
Definició
Suposem que tenim un sòlid rígid, i elegim un punt de l'espai (que pot o no pertànyer al sòlid) a on calcularem el tensor d'inèrcia. Per referir-nos als punts de l'espai farem servir la base que té origen de coordenades . D'aquesta manera, qualsevol punt del sòlid es pot escriure com:
Anomenarem a la regió de l'espai que ocupa el sòlid, i considerarem que és la densitat de massa del punt . Amb tot això, les components del tensor d'inèrcia en aquesta base vénen donades per la següent expressió:
Motivació
La definició anterior pot semblar complicada i arbitrària, però veurem el paper fonamental que juga en la mecànica del sòlid rígid.
Moment angular
Suposem que un sòlid rígid gira amb velocitat angular , i volem calcular el seu moment angular respecte al punt . Llavors, es compleix que:
És important notar que en general el moment angular no és paral·lel a la velocitat angular, ja que el tensor d'inèrcia és, en general, una matriu complicada.
Energia cinètica
Fem les mateixes suposicions que abans, i obtenim que l'energia cinètica del sòlid respecte al punt és: