Matriu invertible: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m neteja i estandardització de codi |
m neteja i estandardització de codi |
||
Línia 41: | Línia 41: | ||
{{ORDENA:Matriu Invertible}} |
{{ORDENA:Matriu Invertible}} |
||
{{ |
{{Autoritat}} |
||
[[Categoria:Matrius|Invertible]] |
[[Categoria:Matrius|Invertible]] |
Revisió del 17:10, 6 set 2020
Donada una matriu quadrada d'ordre , , es diu que és invertible (regular o no singular) si existeix una altra matriu tal que i , on és la matriu identitat d'ordre . En aquest cas, la matriu és única i es denota per .
Quan una matriu no és invertible, es diu que és no invertible o singular.
Exemple
Per exemple, les següents matrius i són inverses l'una de l'altra:
, .
Propietats[1]
- La inversa d'una matriu és única.
- La inversa del producte de dues matrius és el producte de les inverses canviant l'ordre:
- Si la matriu és invertible, també ho és la seva transposada, i la inversa de la transposada és la transposada de la inversa, és a dir:
- La inversa de la inversa d'una matriu és :
- Una matriu definida sobre els reals és invertible si i només si el seu determinant és distint de zero. A més a més, la inversa satisfà la igualtat següent:
on és el determinant de la matriu A i és la Matriu d'adjunts de A.
- El conjunt de matrius quadrades d'ordre sobre un cos que admeten inversa, amb el producte de matrius, té una estructura isomorfa al grup lineal d'ordre . En aquest grup, l'operació inversa és un automorfisme .
- No totes les matrius quadrades tenen inversa, només tenen inversa aquelles matrius tals que el seu rang sigui , .
- Si una matriu té inversa, aleshores no pot existir una altra matriu , quadrada o no, tal que . En efecte:
Inverses generalitzades
Un concepte relacionat amb el d'inversa d'una matriu és el d'inversa generalitzada o pseudoinversa (i, en particular, la pseudoinversa de Moore-Penrose). Mentre la inversa només es pot calcular per algunes matrius, les inverses generalitzades es poden calcular per a qualsevol matriu.
Referències
- ↑ Llerena, Irene, Miró-Roig, Rosa Maria, Matrius i vectors, Universitat de Barcelona, Barcelona, 2010, p. 71, 72.