Vés al contingut

Equació diferencial ordinària: diferència entre les revisions

m
Plantilla
m (neteja i estandardització de codi)
m (Plantilla)
 
#Es troba la solució general a l'equació homogència corresponent <math>y''(x) + p(x) y'(x) + q(x) y(x) = 0</math>. Específicament, es troben dues solucions linealment independents <math>y_1(x)</math> i <math>y_2(x)</math>.
#Com que <math>y_1(x)</math> i <math>y_2(x)</math> són solucions linealment independents, el seu [[Wronskià]] <math>y_1(x) y_2'(x) - y_1'(x) y_2(x)</math> és diferent de zero, per tant es pot calcular <math>-(g(x) y_2(x))/({y_1(x) y_2'(x) - y_1'(x) y_2(x)})</math> i <math>({g(x) y_1(x)})/({y_1(x) y_2'(x) - y_1'(x) y_2(x)})</math>. Si el primer és igual a ''u''<nowiki>{{'</nowiki>}}(''x'') i el segon a ''v''<nowiki>{{'</nowiki>}}(''x''), llavors ''u'' i ''v'' satisfan les dues restriccions donades a sobre: que <math>u'(x) y_1(x) + v'(x) y_2(x) = 0</math> i que <math>u'(x) y_1'(x) + v'(x) y_2'(x) = g(x)</math>. Es pot dir això després de multiplicar pel denominador i comparant coefficients.
#Integrant <math>-(g(x) y_2(x))/({y_1(x) y_2'(x) - y_1'(x) y_2(x)})</math> i <math>({g(x) y_1(x)})/({y_1(x) y_2'(x) - y_1'(x) y_2(x)})</math> per obtenir ''u''(''x'') and ''v''(''x''), respectivament. (Noti's que només es necessita una ''u'' i una ''v'', per tant no calen les constants d'integració.)
#Es calcula <math>y_p(x) = u(x) y_1(x) + v(x) y_2(x)</math>. La funció <math>y_p</math> és una solució de <math>y''(x) + p(x) y'(x) + q(x) y(x) = g(x)</math>.
 
===== Equacions d'ordre superior =====
El mètode de variació de parèmtres també es pot fer servir per equacions d'ordre superior. Per exemple, si <math>y_1(x)</math>, <math>y_2(x)</math>, i <math>y_3(x)</math> són solucions linealment independents de <math>y'''(x) + p(x) y''(x) + q(x) y'(x) + r(x) y(x) = 0</math>, llavors existeixen funcions ''u''(''x''), ''v''(''x''), i ''w''(''x'') tals que <math>u'(x) y_1(x) + v'(x) y_2(x) + w'(x) y_3(x) = 0</math>, <math>u'(x) y_1'(x) + v'(x) y_2'(x) + w'(x) y_3'(x) = 0</math>, i <math>u'(x) y_1''(x) + v'(x) y_2''(x) + w'(x) y_3''(x) = g(x)</math>. Havent trobat aquestes funcions (resolent algebraicament per ''u''<nowiki>{{'</nowiki>}}(''x''), ''v''<nowiki>{{'</nowiki>}}(''x''), i ''w''<nowiki>{{'</nowiki>}}(''x''), i integrant), es té <math>y_p(x) = u(x) y_1(x) + v(x) y_2(x) + w(x) y_3(x)</math>, una solució a l'equació <math>y'''(x) + p(x) y''(x) + q(x) y'(x) + r(x) y(x) = g(x)</math>.
 
===== Exemple =====
2.733.617

modificacions