Fórmules de Viète

En matemàtiques, més específicament en àlgebra, les fórmules de Viète, anomenades així en honor de François Viète, són fórmules que relacionen les arrels d'un polinomi amb els seus coeficients.

Les fórmules

Si

$P(X)=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}$

És un polinomi de grau $n\geq 1$ amb coeficients complexos (per tant, els nombres $a_{0},a_{1},\dots ,a_{n-1},a_{n}$ són complexos amb $a_{n}\neq 0$), pel teorema fonamental de l'àlgebra $P(X)$ té $n$ (no necessàriament diferents) arrels complexes $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}.$ Les fórmules de Viète estableixen que

${\begin{cases}x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n-1}+x_{n}={\tfrac {-a_{n-1}}{a_{n}}}\\(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{n})+(x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n})+\cdots +x_{n-1}x_{n}={\frac {a_{n-2}}{a_{n}}}\\\vdots \\x_{1}x_{2}\dots x_{n}=(-1)^{n}{\tfrac {a_{0}}{a_{n}}}\end{cases}}$

En altres paraules, la suma de tots els possibles productes de $k$ arrels de $P(X)$ (amb els índexs en cada producte en ordre creixent de forma que no hi hagi repeticions) és igual a $(-1)^{k}a_{n-k}/a_{n},$

$\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\cdots x_{i_{k}}=(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}$

Per a cada $k=1,2,\dots ,n.$

Les fórmules de Viète també es compleixen de forma més general per a polinomis amb coeficients en qualsevol anell commutatiu, en la mesura en què aquest polinomi de grau $n$ tingui $n$ arrels en aquest anell.

Exemple

Per al polinomi de segon grau $P(X)=aX^{2}+bX+c$, les fórmules de Viète estableixen que les solucions $x_{1}$ i $x_{2}$ de l'equació $P(X)=0$ satisfan

$x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}.$

La primera d'aquestes equacions es pot er servir per a trobar el mínim (o el màxim) de P. Vegeu Equació de segon grau.

Demostració

Les fórmules de Viète es poden demostrar escrivint la igualtat

$a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}=a_{n}(X-x_{1})(X-x_{2})\cdots (X-x_{n})$

(que és certa donat que $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ són totes les arrels d'aquest polinomi), multiplicant els factors del cantó dret, i identificant els coeficients de cada potència de $X.$

Referències

• Vinberg, E. B.. A course in algebra. American Mathematical Society, Providence, R.I, 2003. ISBN 0821834134. 

• Djukić, Dušan, i cols.. The IMO compendium: a collection of problems suggested for the International Mathematical Olympiads, 1959-2004. Springer, New York, NY, 2006. ISBN 0387242996.