Corba de Lévy

Primeres iteracions de la corba de Lévy

En matemàtiques, una corba de Lévy, a vegades anomenada corba C de Lévy per la seva forma, és una corba fractal descrita l'any 1906 per Ernesto Cesàro. El 1910 el matemàtic Georg Faber en va descriure les propietats de diferenciabilitat, i posteriorment Paul Lévy en va analitzar les propietats d'auto-similitud i va proporcionar una construcció geomètrica de la corba, mostrant-la com una corba representativa de la mateixa classe que la corba de Koch. Es tracta d'un cas especial de corba de doble període, és a dir, una corba de Rham.

En alguns casos també se l'anomena drac de Lévy i es considera dins de la família de corbes del drac.

Construcció

La corba de Lévy és el límit del següent sistema de funcions iterades en el pla complex:

$f_{1}(z)={\frac {(1-i)z}{2}}$

$f_{2}(z)=1+{\frac {(1+i)(z-1)}{2}}$

amb el sistema de punts inicial $S_{0}=\{0,1\}$.

La corba de Lévy es pot considerar una corba de Peano, en la qual cada segment és substituït per dos segments que formen un angle de 90°, de la següent manera:

Per tant, el perímetre tendeix a infinit, perquè augmenta de forma constant a cada iteració.

Alternativament, si s'interpreta com una variant del drac de Heighway, es pot obtenir una seqüència corresponent als girs de la corba de la següent manera, mantenint la simetria:

• Es comença amb un únic gir a l'esquerra, que es pot representar amb un $1$
• El pas següent té la forma (anterior)valor(anterior), és a dir: $(1)a(1)\rightarrow (1a1)b(1a1)\;...$
• El valor que es col·loca a la posició central segueix un cicle a-b-c-d on:

a - seguir recte, per tant un angle de gir de 0°.

b - girar a la dreta, per tant un angle de gir de 90°.

c - tornar enrere, per tant un angle de gir de 180°.

d - girar a l'esquerra, per tant un angle de gir de 270°.

Propietats

La dimensió fractal de la corba és 2, però l'any 1999 Duvall i Keesling en van estimar la dimensió de Hausdorff del límit del seu perímetre:

$D_{H}=2\log _{2}(x)\approx 1.9340$ on $x$ s'obté de l'equació polinòmica $x^{9}-3x^{8}+3x^{7}-3x^{6}+2x^{5}+4x^{4}-8x^{3}+8x^{2}-16x+8=0$.

Vegeu també

• Corba de Peano
• Corba del drac