Grup abelià finit

Leopold Kronecker (1823-1891)

En matemàtiques i més precisament en àlgebra, els grups abelians finits corresponen a una subcategoria de la categoria dels grups.

Un grup abelià finit és un grup commutatiu tal que el seu cardinal és finit (és a dir que té un nombre finit d'elements). Correspon a un cas particular dels grups abelians de tipus finit. Aquest concepte disposa no obstant això d'una història pròpia i de nombroses aplicacions específiques, tan teòriques en aritmètica modular com industrials en, per exemple els codis correctors.

Aquests grups verifiquen una propietat forta: el teorema de Kronecker que indica que tots són producte directe de grups cíclics.

Història

Niels Abel 1802-1829

Évariste Galois 1811-1832

El 1824, el matemàtic noruec Niels Henrik Abel (1802 1829) publica, pagant ell mateix les despeses de la publicació un petit text de sis pàgines estudiant la questió de la resolució de l'equació general del cinquè grau. Posa en evidència la importància del caràcter commutatiu d'un conjunt de permutacions. Un grup commutatiu es qualifica ara d'abelià en referència a aquest descobriment.

Évariste Galois (1811 1832) estudia la mateixa qüestió. El 1831, fa servir per primera vegada el terme de grup formal. Quinze anys més tard, el matemàtic Joseph Liouville (1809 1882) publica aquest article. Durant la segona meitat del segle XIX, l'estudi dels grups finits sembla ser essencial, inicialment per al desenvolupament de la teoria de Galois.

No obstant això, calen nombrosos anys per definir aquesta noció de grup formal. Kronecker és un actor d'aquesta axiomatització. Kronecker dóna el 1870 una definició equivalent a la que es fa servir actualment per a un grup abelià finit. La definició general sovint s'atribueix a Heinrich Weber (1842 1913). (1842 1913).

En 1853 Leopold Kronecker (1823 1891) enuncia que les extensions finites dels nombres racionals que tenen un grup de Galois abelià són els subcossos de les extensions ciclotòmiques. La seva demostració del teorema conegut amb el nom de teorema de Kronecker-Weber és falsa, caldran les aportacions de Richard Dedekind (1831 1916), Heinrich Weber i finalment David Hilbert(1862 1943) per arribar a una demostració rigorosa. Aquest context és el que va portar Kronecker, al seu article de 1870, a demostrar el teorema fonamental dels grups abelians finits que porta ara el seu nom.

Propietats

Propietats elementals

• Tot grup cíclic és un grup abelià finit.
• Tot subgrup d'un grup abelià finit és abelià i finit.
• Tot grup quocient d'un grup abelià finit és abelià finit.
• Tot producte directe d'una família finita de grups abelians finits és un grup abelià finit.

La primera propietat es demostrarà en el paràgraf Teorema fonamental de l'article grup cíclic, els altres resulten de les propietats dels grups abelians i dels grups finits.

Teorema de Kronecker

Article principal: Teorema de Kronecker

En la resta de l'article, G designa un grup abelià finit:

• Existeix una successió d'enters estrictament positius (a₁,a₂,...,a_k) tal que G és isomorf al producte directe dels grups cíclics de cardinal els diferents elements de la successió.

Per tant, existeix la successió següent isomorfa al grup G:

$G\approx \mathbb {Z} /a_{1}\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /a_{2}\mathbb {Z} \times \cdots \times \mathbb {Z} /a_{k}\mathbb {Z}$

• Si la successió (a₁,a₂,...,a_k) es tria de tal mena que a_i+1 sigui un divisor de a_i per a tot i enter entre 1 i k - 1, llavors la successió és única. Els elements d'aquesta successió s'anomenen factors invariants.

Aquest teorema es demostrà a l'article principal.

Conseqüències del teorema de Kronecker

La definició següent permet obtenir una altra descomposició:

• Sigui p un nombre primer, d'un grup abelià es diu que és de p-torsió si tots els seus elements són d'ordre una potència de p.

En el cas dels grups finits un grup de p-torsió correspon exactament a la noció de p-grup.

• Existeix i és única la descomposició de G en producte de grups de p_i-torsions finits, d'ordre donat. Aquí (p_i) designa una família de nombres primers.

Existeix també una altra descomposició més fina:

• Existeix una única descomposició de G en producte de cicles d'ordre una potència d'un nombre primer.

Es disposa a demés, de la següent propietat:

• Sigui d un divisor de l'ordre de G, existeix un subgrup de G d'ordre d.

Demostracions

:* Existeix una i només una descomposició de G en producte de grups de p_i-torsions finit, d'un ordre donat.

Existència

El teorema de Kronecker limita la demostració al cas d'un grup cíclic. En efecte, com que tot grup abelià finit és un producte de grups cíclics, i com que el producte directe d'un nombre finit de p-grups és un p-grup, llavors n'hi ha prou amb reagrupar tots els p-grups obtinguts.

El teorema xinès del residu indica que si a i b són dos enters primers entre ells llavors Z/ab.Z és isomorf a Z/a.Z x Z/b.Z. El que permet obtenir la conclusió.

Unicitat

N'hi ha prou amb fixar-se que el p-grup està format pels elements l'ordre dels quals és una potència de p_i.

• Existeix una única descomposició de G en producte de cicles d'ordre una potència d'un nombre primer.

La proposició precedent limita la demostració a l'existència i la unicitat d'una descomposició en producte directe de cicles per a un p-grup.

L'existència és una conseqüència directa del teorema de Kronecker.

La unicitat es demostra per inducció.

Si el p-grup és de cardinal p, llavors no admet cap subgrup i la seva descomposició és única.

Suposant que es compleix per l'ordre p^k, es demostra que és verdadera per l'ordre p^{k + 1}. Sigui p^l l'exponent del p-grup, tota descomposició en producte de cicles conté almenys un grup cíclic d'ordre p^l i no conté cap cicle d'ordre p^m amb m > l (si no l'exponent seria igual a p^m). La demostració del teorema de Kronecker mostra que existeix una única descomposició del p-grup en un grup cíclic d'ordre p^l i d'un subgrup G'. La hipòtesi d'inducció mostra la unicitat de la descomposició del grup G' i finalitza la demostració.

• Existeix un subgrup de G d'ordre d.

Sigui g l'ordre del grup G, el teorema de Kronecker indica que existeix un isomorfisme entre G i un producte de cicles:

$G\approx \prod _{i}C_{i}$ sigui c_i l'ordre de c, el producte dels c_i és igual a g, per tant existeix una família d'enters d_i tal que d_i és divisor de c_i i que el producte dels d_i és igual a d. Existeix un subgrup D_i de C d'ordre d_i . El producte dels subgrups D_i és isomorf a un subgrup de G d'ordre d.

Aplicacions

Anàlisi harmònica

Article principal: Anàlisi harmònica sobre un grup abelià finit

Un grup abelià finit té caràcters de grup destacables, els caràcters del grup són isomorfs al propi grup. La teoria de l'anàlisi harmònica resulta llavors senzilla a establir. Així és possible definir la transformació de Fourier o el producte de convolució. Es verifiquen els resultats usuals com la igualtat de Parseval, el teorema de Plancherel o inclús la fórmula de sumatori de Poisson.

Aritmètica modular

Articles principals: Aritmètica modular i Símbol de Legendre

Gustav Lejeune Dirichlet

Une structure largement utilisé en théorie algébrique des nombres est celle de Z/pZ et particulièrement son groupe des unités. Cette approche est la base de l'arithmétique modulaire. Si p est un nombre premier, alors le groupe multiplicatif est cyclique d'ordre p - 1. Dans le cas contraire, le groupe des unités est encore abélien et fini.

Il aide à la résolution d'équations diophantiennes comme le petit théorème de Fermat, ainsi que la généralisation d'Euler. Il est aussi utilisé dans la démonstration du théorème des deux carrés de Fermat par Richard Dedekind.

L'analyse harmonique sur les groupes abéliens finis possèdent aussi de nombreuses applications en arithmétique. Elle correspondent à la formalisation moderne de résultats démontrés par des mathématiciens comme Carl Friedrich Gauss (1777 1855) ou Adrien-Marie Legendre (1752 1833). Le symbole de Legendre apparait maintenant comme un caractère d'un groupe cyclique, donc abélien et fini, à valeur dans {-1, 1}. Les sommes ou les périodes de Gauss s'exprime aussi à l'aide de caractères sur un groupe abélien fini, ce qui permet de les calculer. Cette approche est à la base d'une démonstration de la loi de réciprocité quadratique.

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805 - 1859) s'intéresse à une conjecture de Gauss et Legendre : toute classe du groupe des unités de l'anneau Z/nZ contient une infinité de nombres premiers. Leonhard Euler (1707 - 1783) propose bien une méthode, à travers le produit eulérien pour répondre, cependant les nombres premiers recherchés sont tous localisés dans une unique classe. Dirichlet utilise l'analyse harmonique pour démontrer ce théorème maintenant connu sous le nom de théorème de la progression arithmétique. Ses travaux sont fondateurs de la théorie analytique des nombres.

Teoria de Galois

Article principal: Teorema d'Abel-Ruffini

Carl Friedrich Gauss

Construction de l'Heptadécagone

Les groupes abéliens finis ont un rôle particulier dans la théorie de Galois. Une conséquence du théorème d'Abel-Ruffini est que tout polynôme ayant un groupe de Galois abélien est résoluble par radicaux. La réciproque est un peu plus complexe, le groupe ne doit pas être nécessairement abélien mais résoluble. Le corps de décomposition d'un tel polynôme est une extension abélienne, c'est-à-dire une extension dont le groupe de Galois est abélien. Ce résultat rend donc les extensions abéliennes et leur groupe particulièrement intéressant. C'est la raison pour laquelle les mathématiciens du Plantilla:XIXe siècle ont cherché à démontrer le théorème de Kronecker-Weber avec tant d'assiduité.

Bien avant les découvertes de Galois Kronecker et Weber, Gauss avait utilisé un cas particulier : l'équation cyclotomique d'indice 17 pour trouver une méthode de construction à la règle et au compas de l'heptadécagone, c'est-à-dire du polygone régulier à 17 cotés. Le fait que le groupe de Galois du polynôme soit abélien est un élément essentiel de la méthode.

Cos finit

Article principal: Cos finit

Un corps fini F_d est construit sur deux structures de groupes différentes celle additive (F_d, + ) qui est un produit d'un même groupe cyclique d'ordre un nombre premier et (F_d^*, . ) qui est un groupe cyclique.

Teoria de la informació

Article principal: Teoria de la informació

Les CD utilisent un code de Reed-Solomon

Au Plantilla:XXe siècle, les groupes abéliens finis prennent une importance particulière grâce à la naissance de la théorie de l'information. Ils sont utilisés à la fois pour la cryptologie et les codes correcteurs.

En cryptologie, les groupes cycliques à la base de nombreux algorithmes. L'arithmétique modulaire permet, par exemple, d'obtenir des tests de primalité comme celui de Fermat, ou de Miller-Rabin. L'utilisation des groupes abéliens finis ne s'arrête pas là. Une structure essentielle est celle d'un espace vectoriel de cardinal fini, donc sur un corps fini et de dimension fini. Elle correspond à un groupe abélien fini et permet de définir une analyse harmonique particulière. Si le corps contient deux éléments, les fonctions de l'espace vectoriel dans le corps des nombres complexes prend le nom de fonction booléenne et la transformée de Fourier celui de transformée de Walsh. La cryptologie utilise largement les fonctions booléennes et la transformée de Walsh, par exemple pour l'étude des boîtes-S.

La théorie des codes correcteurs et particulièrement celle des codes linéaires n'est pas en reste. Elle utilise, par exemple, l'analyse harmonique sur les espaces vectoriels finis quelconques pour l'analyse d'un code dual à travers l'identité de Mac Williams. Le code utilisé pour les disques compacts est de type Reed-Solomon, il utilise un espace vectoriel sur un corps à 256 éléments, une structure fondée sur de multiples groupes abéliens finis.

Notes et références

Liens externes

• (anglès) A history of Group theory par William Comb
• (francès) Un ensemble de mathématiciens de l'antiquité à aujourd'hui par J-M de Koninck et B R Hodgson
• (francès) Groupes abéliens cours d'algèbre de l'Université Claude Bernard Lyon I, par Fokko du Cloux
• (francès) Groupe abélien sur les mathématiques.net

Références

S. Lang Algebre Dunod 2004

J.F. Labarre La theorie des groupes Presses Universitaires de France (PUF) 1978

Samuel, Pierre. Théorie algébrique des nombres.