Teorema dels quatre quadrats: diferència entre les revisions

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure
Contingut suprimit Contingut afegit
Línia 45: Línia 45:
[[nl:Vier-kwadratenstelling van Lagrange]]
[[nl:Vier-kwadratenstelling van Lagrange]]
[[pt:Teorema de Fermat-Lagrange]]
[[pt:Teorema de Fermat-Lagrange]]
[[ru:Теорема Лагранжа о сумме четырех квадратов]]
[[ru:Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов]]
[[ta:லாக்ராஞ்சியின் நான்கு வர்க்கத் தேற்றம்]]
[[ta:லாக்ராஞ்சியின் நான்கு வர்க்கத் தேற்றம்]]
[[zh:四平方和定理]]
[[zh:四平方和定理]]

Revisió del 05:21, 7 maig 2009

El teorema dels quatre quadrats de Lagrange, també anomenat teorema de Bachet, va ser demostrat el 1770 per Joseph Louis Lagrange. Diu que qualsevol enter positiu és la suma de quatre quadrats enters.

Per exemple:


Més formalment, par a cada enter positiu n existeixen nombres enters no negatius a,b,c,d tal que . Adrien-Marie Legendre va millorar el teorema el 1798 demostrant que un enter positiu pot expressar-se com la suma de tres quadrats si no és de la forma .

La seva prova era incompleta, deixant un buit que després va omplir Carl Friedrich Gauss. El 1834, Carl Gustav Jacob Jacobi va trobar la fórmula exacta per al número total de maneres que un nombre enter positiu n donat pot representar-se com la suma de quatre quadrats. Aquest número és vuit cops la suma dels divisors de n si n és imparell i 24 cops la suma dels divisors imparells de n si n és parell.


El teorema dels quatre quadrats de Lagrange és un cas especial del teorema del número poligonal de Fermat i del problema de Waring.


Una altra generalització possible és: donats els nombres naturals a, b, c, d, es podria resoldre:


on , , , corresponen a nombres naturals positius.


El cas es contesta pel teorema dels quatre quadrats.

Rāmānujan va donar la solució general, demostrant que si assumim, sense pèrdua de generalitat, que , llavors hi han exactament 54 opcions possibles per a, b, c, i d, tal que l'equació és soluble en nombres enters per a tota n. De fet, Ramanujan va catalogar una 55ena possibilitat , , , , però en aquest cas l'equació no és resoluble si .