Vés al contingut

Equació diferencial ordinària: diferència entre les revisions

m
Robot afegeix: eo:Ordinara diferenciala ekvacio; canvis cosmètics
m (Robot afegeix: eo:Ordinara diferenciala ekvacio; canvis cosmètics)
on <math>f \,</math> és una funció desconeguda, i <math>f'\,</math> és la seva derivada.
 
== Definició ==
Sigui ''y'' una funció de ''x'' desconeguda, i prengui's
 
S'anomena equació diferencial '''autònoma''' a aquella EDO que no depèn de ''x'', i '''homogènia''' a aquella que cap terme depèn ''només'' de ''x''.
 
== Aplicació general ==
 
Un cas especial important és quan les equacions no depenen de <math>x</math>. Aquestes equacions diferencials es poden representar com a [[camp vectorial|camps vectorials]]. Aquest tipus d'equacions diferencials té la propietat que l'espai es pot dividir en classes d'equivalència basades en si dos punts tenen la mateixa [[corba]] de solucions. Ja que les lleis de la física se suposen invariables en el temps, el món físic es governa per aquestes equacions diferencials.
És important distingir les equacions diferencials ordinàries de les [[equació diferencial en derivades parcials|equacions diferencials en derivades parcials]], on <math>y</math> és una funció de diverses variables, i l'equació diferencial inclou les [[derivada parcial|derivades parcials]].
 
== Existència i naturalesa de solucions ==
 
El problema de solucionar una derivada parcial és trobar la funció <math>y</math> les derivades de la qual satisfan l'equació. Per exemple, l'equació diferencial
on el cusp locus s'ha fet servir per connectar dues solucions particulars; noti's que la primera derivada (l'única derivada que apareix a l'equació diferencial) és contínua a les transicions.
 
== Tipus d'equacions diferencials amb una mica d'història ==
 
La influència de la [[geometria]], la [[física]] i l'[[astronomia]], començant amb [[Isaac Newton|Newton]] i [[Gottfried Leibniz|Leibniz]], i manifestada més tard pels [[Bernoulli]]<!-- són una nissaga -->, [[Riccati]], i [[Clairaut]], però sobretot per [[Jean le Rond d'Alembert|d'Alembert]] i [[Euler]], ha estat molt marcada, especialment a la teoria de les [[equacions diferencials amb coeficients constants lineals]].
 
 
=== EDO lineals homogènies amb coeficients constants ===
El primer mètode d'integrar equacions diferencials ordinàries lineals amb coeficients constants es deu a [[Euler]], qui s'adonà que les solucions tenen la forma <math>e^{z x}</math> per valors possiblement complexos de <math>z</math>. Així
 
El cas que inclou arrels [[complex]]es es pot solucionar amb l'ajuda de la [[fórmula d'Euler]].
 
'''Example''': Donada l'equació <math>y''-4y'+5y=0 \,</math>. L'equació característica és <math>z^2-4z+5=0 \,</math> que té arrels 2+''i'' and 2&minus;2−''i''. Així, la base de solucions <math>\{y_1,y_2\}</math> és <math>\{e^{(2+i)x},e^{(2-i)x}\} \,</math>. Ara ''y'' és solució [[sii]] <math>y=c_1y_1+c_2y_2 \,</math> per <math>c_1,c_2\in\mathbb C</math>.
 
Com que els coeficients són reals,
donaran una base real en <math>\{u_1,u_2\}</math>.
 
=== EDO lineals amb coeficients constants ===
 
Donada ara l'equació
(Noti's que ''u''<sub>1</sub> i ''u''<sub>2</sub> tenien factors que han cancel·lat ''y''<sub>1</sub> i ''y''<sub>2</sub>; això és típic que passi.)
 
=== EDO lineals amb coeficient variable ===
 
==== Mètode de coeficients indeterminats ====
 
El mètode de coeficients indeterminats és útil per trobar solucions per <math>y_p </math>. Donada l'EDO <math>P(D)y = f(x)</math>, se n'ha de trobar una altra [[differential operator]] <math>A(D)</math> tal que <math>A(D)f(x) = 0</math>. Aquest operador s'anomena l''''anihilador'''. Així el mètode de coeficients indeterminats també s'anomena el '''mètode anihilador'''. Aplicant <math>A(D)</math> a ambdós costats de l'EDO dóna una EDO homogència <math>\big(A(D)P(D)\big)y = 0</math> per la qual es troba una base de solucions <math>\{y_1,\ldots,y_n\}</math> com abans. Llavors l'EDO original no homogència s'usa per construir un sistema d'equacions restrigint els coeficients de les combinacions lineals per satisfer l'EDO.
|}
 
==== Mètode de variació de paràmetres ====
 
La solució general a una equació diferencial lineal no homogència <math>y''(x) + p(x) y'(x) + q(x) y(x) = g(x)</math> es pot expressar com la suma de la solució general <math>y_h(x)</math> a l'equació lineal homogènia corresponent <math>y''(x) + p(x) y'(x) + q(x) y(x) = 0</math> i qualsevol solució <math>y_p(x)</math> to <math>y''(x) + p(x) y'(x) + q(x) y(x) = g(x)</math>.
\end{matrix}</math>
 
=== Mètode de resolució general per les EDO lineals de primer ordre ===
 
Per una EDO lineal de primer ordre, amb coeficients que poden o no variar amb ''t'':
[[de:Gewöhnliche Differentialgleichung]]
[[en:Ordinary differential equation]]
[[eo:Ordinara diferenciala ekvacio]]
[[es:Ecuación diferencial ordinaria]]
[[fa:معادلات دیفرانسیل معمولی]]
205.146

modificacions