Teorema de Clairaut

En matemàtiques, el teorema de Clairaut (també conegut com a teorema de Schwartz) mostra la igualtat de les derivades creuades d'una funció f sempre que:

$f\colon A\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$

tingui derivades parcials contínues per qualsevol punt del domini obert A, per exemple, prenguem el punt $(a_{1},a_{2},...,a_{n})$, llavors, segons aquest teorema, per qualsevol $1<i,j<n$ tenim que:

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}(a_{1},\dots ,a_{n})={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\,\partial x_{i}}}(a_{1},\dots ,a_{n}).$

Aquest teorema deu el seu nom al matemàtic i astrònom francès Alexis Clairaut.

Una conseqüència immediata d'això és que, si es compleixen les condicions del teorema de Clairaut, la matriu hessiana de la funció f serà simètrica.