Diferència entre revisions de la pàgina «Funció bijectiva»

Salta a la navegació Salta a la cerca
40 octets eliminats ,  fa 10 anys
m
Robot elimina entitats HTML
m (Robot insereix {{ORDENA:Funcio Bijectiva}})
m (Robot elimina entitats HTML)
==Exemples i contraexemples==
* Per a qualsevol conjunt ''X'', la [[funció identitat]] id<sub>''X''</sub> de ''X'' en ''X'', definida per id<sub>''X''</sub>(''x'') = ''x'', és bijectiva.
*La funció ''f'' de la [[línia real]] ℝ en ℝ definida per ''f''(''x'') = 2''x'' + 1 és bijectiva, donat que per a cada ''y'' hi ha un únic ''x'' = (''y''&nbsp;&minus;&nbsp;1)/2 tal que ''f''(''x'') = ''y''.
* La [[funció exponencial]] ''g''&nbsp;:&nbsp;ℝ → ℝ,amb ''g(x)'' = e<sup>''x''</sup>, no és bijectiva: per exemple, no hi ha cap ''x'' de ℝ tal que ''g''(''x'') = &minus;1−1, provant que ''g'' no és suprajectiva. En canvi si es canvia el [[codomini]] per que sigui el conjunt dels nombres reals positius ℝ<sup>+</sup> = (0,+∞), llavors ''g'' esdevé bijectiva; la seva inversa és la funció [[logaritme natural]] ln.
* La funció ''h''&nbsp;:&nbsp;&nbsp;ℝ → [0,+∞) amb ''h(x)'' = ''x''² no és bijectiva: per exemple, ''h''(&minus;1−1) = ''h''(+1) = 1, per tant ''h'' no és injectiva. Ara bé, si el [[domini (matemàtiques)|domini]] també es canvia per <nowiki>[0,+∞)</nowiki>, llavors ''h'' esdevé bijectiva; la seva inversa és la funció arrel quadrada positiva.
* ℝ → ℝ : ''x'' ↦ (''x''-1)''x''(''x''+1) = ''x''<sup>3</sup> - ''x'' no és una bijecció perquè &minus;1−1, 0, i +1 són dins del domini i a tots tres els correspon el 0.
* ℝ → [-1,1] : ''x'' ↦ sin(''x'') no és una bijecció perquè π/3 i 2π/3 són dins els domini i a tots dos els correspon (√3)/2.
 
==Composició i inverses==
[[Fitxer:Bijective_composition.svg|thumb|300px|Una funció bijectiva composada de una funció injectiva i una suprajectiva.]]
Una funció ''f'':''X'' → ''Y'' es bijectiva [[si i només si]] la seva [[funció inversa]] ''f''<sup>&minus;1−1</sup>: ''Y'' → ''X'' és una funció. En aquest cas, ''f''<sup>&minus;1−1</sup> també és bijectiva.
 
La [[composició (matemàtiques)|composició]] ''g''∘''f'' de dues funcions bijectives ''f'':''X'' → ''Y'' i ''g'':''Y'' → ''Z'' és una funció bijectiva. La inversa de ''g''∘''f'' és (''g''∘''f'')<sup>&minus;1−1</sup> = (''f''<sup> &minus;1−1</sup>)∘(''g''<sup>&minus;1−1</sup>).
 
Per altra banda, si la composició ''g''∘''f'' de dues funcions es bijectiva, només es pot assegurar que ''f'' és injectiva i que ''g'' és suprajectiva.
* Si ''X'' és un conjunt, llavors les funcions bijectives de ''X'' en si mateix, juntament amb l'operació de composició de funcions (∘), formen un [[grup (matemàtiques)|grup]], el [[grup simètric]] de ''X'', el qual es denota com a S(''X''), ''S''<sub>''X''</sub>, o ''X''! (la última notació es llegeix "''X'' [[factorial]]").
* Per a un subconjunt ''A'' del domini i un subconjunt ''B'' del codomini es té:
:|''f''(''A'')| = |''A''| i |''f''<sup>&minus;1−1</sup>(''B'')| = |''B''|.
*Si ''X'' i ''Y'' són [[conjunt finit|conjunts finits]] de la mateixa [[cardinalitat]] i ''f'':&nbsp;''X''&nbsp;→&nbsp;''Y'', llavors les següents afirmacions són equivalents:
*# ''f'' és una bijecció.
1.212.082

modificacions

Menú de navegació