Derivada segona: diferència entre les revisions

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure
Contingut suprimit Contingut afegit
Línia 51: Línia 51:


== Límit ==
== Límit ==
La derivada segona es pot definir amb un únic [[límit]]:
It is possible to write a single [[Limit (mathematics)|limit]] for the second derivative:

És possible escriure un [[Límit|límit]] únic per al segon derivat:
:<math>f''(x) = \lim_{h->0} \frac{f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)}{h^2}.</math>
:<math>f''(x) = \lim_{h->0} \frac{f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)}{h^2}.</math>
L'expressió a la dreta es pot escriure com a [[quocient de diferències]] de quocients de diferències:
The expression on the right can be written as a [[difference quotient]] of difference quotients:

L'expressió a la lleia pot ser escrit com a [[quocient de diferència]] de quocients de diferència:
:<math>\frac{f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)}{h^2} = \frac{\frac{f(x+h) - f(x)}{h} - \frac{f(x) - f(x-h)}{h}}{h}.</math>
:<math>\frac{f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)}{h^2} = \frac{\frac{f(x+h) - f(x)}{h} - \frac{f(x) - f(x-h)}{h}}{h}.</math>
Aquest límit es pot veure com a versió contínua de la [[segona diferència]] per a [[successió matemàtica|successions]].
This limit can be viewed as a continuous version of the [[second difference]] for [[sequence (mathematics)|sequences]].

Aquest límit es pot veure com a versió contínua de la [[segona diferència]] per a [[successió matemàtica|sequences]].


== Aproximació quadràtica ==
== Aproximació quadràtica ==

Revisió del 21:52, 10 març 2010

La derivada segona d'una funció quadràtica és una constant.

En càlcul, la derivada segona d'una funció ƒ és la derivada de la derivada de ƒ. A grans trets, la derivada segona mesura com canvia la taxa de variació d'una quantitat; per exemple, la segona derivada de la posició d'un vehicle respecte a temps és l'acceleració instantània del vehicle, o la raó a què la velocitat del vehicle està canviant.

Sobre la gràfica d'una funció, la segona derivada correspon a la curvatura o concavitat de la gràfica. La gràfica d'una funció amb derivada segona positiva es corba cap amunt, mentre la gràfica d'una funció amb derivada segona negativa es corva cap avall.

Notació

La derivada segona d'una funció es nota normalment . És a dir:

En fer servir la Notació de Leibniz per a derivades, la derivada segona d'una variable dependent y respecte a una variable independent x s'escriu

Aquesta notació s'obté de la fórmula següent:

Exemple

Donada la funció

la derivada de ƒ és la funció

La derivada segona de ƒ és la derivada de ƒ′, és a dir

Relació amb la gràfica

La gràfica de des de fins a . La recta tangent és blava on la corba és convexa, verda on la corba és còncava, i vermella als punts d'inflexió (, , i ).

Concavitat

La segona derivada d'una funció ƒ mesura la concavitat de la gràfica de ƒ. Una funció tal que la seva derivada segona és positiva serà convexa, el que vol dir que la recta tangent quedarà per sota el gràfic de la funció. De forma Similar, una funció tal que la seva derivada segona sigui negativa serà còncava, i les seves rectes tangents quedaran per damunt del gràfic de la funció.

Punts d'inflexió

Si la derivada segona d'una funció canvia de signa, el gràfic de la funció canviarà de còncava a convexa, o viceversa. Un punt on això ocorre s'anomena un punt d'inflexió. Suposant que la derivada segona sigui continua, ha de prendre un valor zero en qualsevol punt d'inflexió, encara que no tots els punts on la derivada segona és zero són necessàriament punts d'inflexió.

Test de la derivada segona

La relació entre la segona derivada i el gràfic es pot fer servir per provar si un punt estacionari d'una funció (i.e. un punt on ) és un màxim local o un mínim local. Específicament

  • Si llavors té un màxim local a .
  • Si llavors té un mínim local a .
  • Si , el test de la derivada segona no diu res respecte del punt , un punt d'inflexió possible.

La raó per la que la derivada segona produeix aquests resultats poden ser vistos amb una analogia de món real. Considereu un vehicle que al principi s'està movent endavant a gran velocitat, però amb una acceleració negativa. Clarament la posició del vehicle en el punt on la velocitat arriba a zero serà la màxima distància des de la posició de sortida - després d'aquest moment, la velocitat es torna negativa i el vehicle fa marxa enrere. El mateix és veritable per al mínim, amb un vehicle que al principi té una velocitat molt negativa però acceleració positiva.

Límit

La derivada segona es pot definir amb un únic límit:

L'expressió a la dreta es pot escriure com a quocient de diferències de quocients de diferències:

Aquest límit es pot veure com a versió contínua de la segona diferència per a successions.

Aproximació quadràtica

Just as the first derivative is related to linear approximations, the second derivative is related to the best quadratic approximation for a function ƒ. This is the quadratic function whose first and second derivatives are the same as those of ƒ at a given point. The formula for the best quadratic approximation to a function ƒ around the point x = a is

Només mentre el primer derivat es relaciona amb aproximacions lineals, el segon derivat es relaciona amb la millor aproximació quadràtica per a una funció ƒ. Aquesta és la funció quadràtica els primers i segons derivats del qual són els mateixos que els de ƒ en un punt donat. La fórmula per la millor aproximació quadràtica a una funció ƒ al voltant del punt x  = a és

This quadratic approximation is the second-order Taylor polynomial for the function centered at x = a.

Aquesta aproximació quadràtica és el segon ordre Taylor polynomial perquè la funció se centrava a x  = a .

Generalització a dimensions superiors

El Hessià

The second derivative generalizes to higher dimensions through the notion of second partial derivatives. For a function ƒ:R3 → R, these include the three second-order partials

El segon derivat generalitza a dimensions més altes a través de la noció de segones derivades parcials. Per a una funció ƒ:R3 → R, aquests inclouen els tres partials de segon ordre



and the mixed partials

i els partials variats



These fit together into a symmetric matrix known as the Hessian. The eigenvalues of this matrix can be used to implement a multivariable analogue of the second derivative test. (See also the second partial derivative test.)

Aquests encaixen a una matriu simètrica conegut com el hessià. Els valors propis d'aquesta matriu es poden fa servirr per implementar un ordinador analògic multivariable de la segona prova derivada. (Vegi també la segona prova de derivada parcial.)

El laplacià

Another common generalization of the second derivative is the Laplacian. This is the differential operator defined by

Una altra generalització comuna del segon derivat és el laplacià. Aquest és l'operador diferencial definit a prop

The Laplacian of a function is equal to the divergence of the gradient.

El laplacià d'una funció és igual a la divergència del pendent.

Referències

Impreses

  • {{Citation

}}

  • {{Citation
  • Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra. 2n. Wiley. ISBN 978-0471000051. 

}}

  • {{Citation
  • Calculus, Vol. 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications. 2n. Wiley. ISBN 978-0471000075. 

}}

  • {{Citation

}}

  • {{Citation
  • Calculus: Early Transcendental Functions. 4t. Houghton Mifflin Company. ISBN 978-0618606245. 

}}

  • {{Citation

}}

  • {{Citation

}}

  • {{Citation
  • Calculus Made Easy. Revisat, Actualitzada, S'Estenia. St. Martin's Press. ISBN 978-0312185480. 

}}

llibres en Línia

  • {{Citation

}}

  • {{Citation

}}

  • {{Citation

}}

  • {{Citation

}}

  • {{Citation

}}

  • {{Citation

}}

  • {{Citation

}}

  • {{Citation

}}

  • {{Citation

}}