Derivada segona: diferència entre les revisions

Contingut suprimit Contingut afegit

En línia

Revisió del 23:01, 10 març 2010

En càlcul, la derivada segona d'una funció ƒ és la derivada de la derivada de ƒ. A grans trets, la derivada segona mesura com canvia la taxa de variació d'una quantitat; per exemple, la segona derivada de la posició d'un vehicle respecte a temps és l'acceleració instantània del vehicle, o la raó a què la velocitat del vehicle està canviant.

Sobre la gràfica d'una funció, la segona derivada correspon a la curvatura o concavitat de la gràfica. La gràfica d'una funció amb derivada segona positiva es corba cap amunt, mentre la gràfica d'una funció amb derivada segona negativa es corva cap avall.

Notació

La derivada segona d'una funció $f(x)\!$ es nota normalment $f''(x)\!$ . És a dir:

f''=(f')'\!

En fer servir la Notació de Leibniz per a derivades, la derivada segona d'una variable dependent y respecte a una variable independent x s'escriu

{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}.

Aquesta notació s'obté de la fórmula següent:

{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right).

Exemple

Donada la funció

f(x)=x^{3},\!

la derivada de ƒ és la funció

f'(x)=3x^{2}.\!

La derivada segona de ƒ és la derivada de ƒ′, és a dir

f''(x)=6x.\!

Relació amb la gràfica

Concavitat

La segona derivada d'una funció ƒ mesura la concavitat de la gràfica de ƒ. Una funció tal que la seva derivada segona és positiva serà convexa, el que vol dir que la recta tangent quedarà per sota el gràfic de la funció. De forma Similar, una funció tal que la seva derivada segona sigui negativa serà còncava, i les seves rectes tangents quedaran per damunt del gràfic de la funció.

Punts d'inflexió

Si la derivada segona d'una funció canvia de signa, el gràfic de la funció canviarà de còncava a convexa, o viceversa. Un punt on això ocorre s'anomena un punt d'inflexió. Suposant que la derivada segona sigui continua, ha de prendre un valor zero en qualsevol punt d'inflexió, encara que no tots els punts on la derivada segona és zero són necessàriament punts d'inflexió.

Test de la derivada segona

La relació entre la segona derivada i el gràfic es pot fer servir per provar si un punt estacionari d'una funció (i.e. un punt on $f'(x)=0\!$ ) és un màxim local o un mínim local. Específicament

Si $\ f^{\prime \prime }(x)<0$ llavors $\ f$ té un màxim local a $\ x$ .
Si $\ f^{\prime \prime }(x)>0$ llavors $\ f$ té un mínim local a $\ x$ .
Si $\ f^{\prime \prime }(x)=0$ , el test de la derivada segona no diu res respecte del punt $\ x$ , un punt d'inflexió possible.

La raó per la que la derivada segona produeix aquests resultats poden ser vistos amb una analogia de món real. Considereu un vehicle que al principi s'està movent endavant a gran velocitat, però amb una acceleració negativa. Clarament la posició del vehicle en el punt on la velocitat arriba a zero serà la màxima distància des de la posició de sortida - després d'aquest moment, la velocitat es torna negativa i el vehicle fa marxa enrere. El mateix és veritable per al mínim, amb un vehicle que al principi té una velocitat molt negativa però acceleració positiva.

Límit

La derivada segona es pot definir amb un únic límit:

f''(x)=\lim _{h->0}{\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}.

L'expressió a la dreta es pot escriure com a quocient de diferències de quocients de diferències:

{\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}-{\frac {f(x)-f(x-h)}{h}}}{h}}.

Aquest límit es pot veure com a versió contínua de la segona diferència per a successions.

Aproximació quadràtica

Igual com la derivada primera relaciona amb una aproximació lineal de la funció, la derivada segona es relaciona amb la millor aproximació quadràtica per a una funció ƒ. Aquesta és la funció quadràtica tal que les seves derivades primera i segona són les mateixes que les de ƒ en un punt donat. La fórmula per la millor aproximació quadràtica a una funció ƒ al voltant del punt x = a és

f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {1}{2}}f''(a)(x-a)^{2}.

Aquesta aproximació quadràtica és el polinomi de Taylor de segon ordre per la funció centrada a x = a .

Generalització a dimensions superiors

El Hessià

La derivada segona es generalitza a dimensions superiors a través de la noció de derivades parcials segones. Per a una funció ƒ:R³ → R, aquests inclouen les tres derivades parcials de segon ordre

{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}},{\text{ i }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}

and the mixed partials

i les derivades parcials creuades

{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial z}},{\text{ and }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial z}}.

Aquestes encaixen en una matriu simètrica coneguda com el hessià. Els valors propis d'aquesta matriu es poden fer servir per implementar un test anàleg al de la segona derivada en càlcul multivariable.

El laplacià

Una altra generalització comuna de la derivada segona és el laplacià. Aquest és l'operador diferencial $\nabla ^{2}$ definit per

\nabla ^{2}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.

El laplacià d'una funció és igual a la divergència del pendent.

Referències

Impreses

{{Citation

Calculus: Early Transcendentals Single and Multivariable. 8è. Wiley. ISBN 978-0471472445.

}}

{{Citation

Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra. 2n. Wiley. ISBN 978-0471000051.

}}

{{Citation

Calculus, Vol. 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications. 2n. Wiley. ISBN 978-0471000075.

}}

{{Citation

An Introduction to the History of Mathematics. 6è. Brooks Cole. ISBN 978-0030295584.

}}

{{Citation

Calculus: Early Transcendental Functions. 4t. Houghton Mifflin Company. ISBN 978-0618606245.

}}

{{Citation

Calculus. 3r. Publish or Perish. ISBN 978-0914098898.

}}

{{Citation

Calculus. 5è. Brooks Cole. ISBN 978-0534393397.

}}

{{Citation

Calculus Made Easy. Revisat, Actualitzada, S'Estenia. St. Martin's Press. ISBN 978-0312185480.

}}

llibres en Línia

{{Citation

Calculus, 2003.

}}

{{Citation

Notes on First-Year Calculus, 2004.

}}

{{Citation

Understanding Calculus, 2006.

}}

{{Citation

Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals, 2000.

}}

{{Citation

Unabridged Version of Sean's Applied Math Book, 2004.

}}

{{Citation

Difference Equations to Differential Equations, 2000.

}}

{{Citation

Calculus, 1991.

}}

{{Citation

A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus, 1997.

}}

{{Citation

Calculus.

}}

@@ Línia 80: / Línia 80: @@
 === El laplacià ===
-{{main|Laplace operator}}
 {{Principal|Operador laplacià}}
-Another common generalization of the second derivative is the '''Laplacian'''.  This is the differential operator <math>\nabla^2</math> defined by
+Una altra generalització comuna de la derivada segona és el '''laplacià'''.  Aquest és l'operador diferencial <math>\nabla^2</math> definit per
-Una altra generalització comuna del segon derivat és el '''laplacià'''.  Aquest és l'operador diferencial <math>\nabla^2</math> definit a prop
 :<math>\nabla^2 f = \frac{\part^2 f}{\part x^2}+\frac{\part^2 f}{\part y^2}+\frac{\part^2 f}{\part z^2}.</math>
-The Laplacian of a function is equal to the [[divergence]] of the [[gradient]].
 El laplacià d'una funció és igual a la [[divergència]] del [[gradient|pendent]].