Espai vectorial quocient

En àlgebra lineal, l' espai vectorial quocient d'un espai vectorial V sobre un subespai N s'obté "col·lapsant" N a zero. L'espai obtingut s'anomena un espai quocient i es nota V /N (es llageix V mòdul N ).

Definició

Formalment, la construcció es fa de la manera següent (Halmos 1974, §21-22). Sia V un espai vectorial sobre un cos K, i sia N un subespai de V. Es defineix una relació d'equivalència ~ a V establint que x ~ y si x  − y ∈ N. És a dir x està relacionat amb y si un es pot obtenir a partir de l'altre afegint-li un element de N. D'aquesta definició, es pot deduir que qualsevol element de N és equivalent al vector zero; en altres paraules tots els vectors en N corresponen a la classe d'equivalència del vector zero.

La classe d'equivalència de x sovint es nota

[x] = x + N

ja que ve donada per

[x ] = {x + n : n ∈ N }.

L'espai quocient V /N llavors es defineix com V /~, el conjunt de totes els classes d'equivalència per sobre V per ~. La multiplicació per un escalar i l'addició es defineixen en les classes d'equivalència per

• α;[x] = [α;x] per a tot α; ∈ K, i
• [x] + [y] = [x +y].

No és dificil comprovar que aquestes operacions estan ben definides (és a dir no depenen de l'elecció del representant). Aquestes operacions converteixen l'espai quocient V/N a un espai vectorial sobre K on N és la classe zero, [0].

La aplicació que associa a v ∈ V la classe d'equivalència [v] es coneix com l' aplicació quocient.

Exemples

Sia X  = R² el pla cartesià estàndard, i sia Y una línia que passa er l'origen de X. Llavors l'espai quocient X/Y es pot identificar amb l'espai de totes les línies en X que són paral·lels a Y. És a dir que, els elements del conjunt X/Y són línies en X paral·lel a Y. Això dóna una via per visualitzar espais quocient geomètricament.

Un altre exemple és el quocient de Rⁿ pel subespai generat pels m primers vectors de base estàndard. L'espai Rⁿ consisteix en totes les n -tuples de nombres reals ( x ₁,…,x _n). El subespai, identificat amb R^m, consta de totes les n -tuples tals que només les primeres m components són diferents de zero: ( x ₁,…,x _m ,0,0,…,0). Dos vectors de Rⁿ pertanyen a la mateixa classe de congruència mòdul el subespai si i només si són idèntics en les últimes n −m coordenades. L'espai quocient Rⁿ/ R^m és isomorf a R^{n −m} de forma òbvia.

Més generalment, si V és una suma directa (interna) de subespais U i W:

$V=U\oplus W$

llavors l'espai quocient V/U és naturalment isomorf a W (Halmos 1974, Theorem 22.1).

Propietats

Hi ha un epimorfisme natural de V a l'espai quocient V/U donat a base de fer correspondre x a la seva classe d'equivalència [x]. El nucli d'aquest epimorfisme és el subespai U. Aquesta relació queda resumida clarament per la successió exacta

$0\to U\to V\to V/U\to 0.\,$

Si U és un subespai de V, la dimensió de V/U s'anomena la codimensió de U en V. Com a base de V es pot construir a partir d'una base A de U i una base B de V/U afegint un representant de cada element de B a A, la dimensió de V és la suma de les dimensions de U i V/U. Si V és de dimensió finita, porta com a conseqüència que la codimensió de U en V és la diferència entre les dimensions de V i U (Halmos 1974, Theorem 22.2):

$\mathrm {codim} (U)=\dim(V/U)=\dim(V)-\dim(U).$

Sia T : V → W un operador lineal. El nucli de T, notat ker(T), és el conjunt de tot x ∈ V tal que Tx = 0. El nucli és un subespai de V . El primer teorema d'isomorfisme d'àlgebra lineal diu que l'espai quocient V /ker(T) és isomorf a la imatge de V en W . Un corol·lari immediat, per a espais de dimensió finita, és el teorema del rang: la dimensió de V és igual a la dimensió del nucli de més la dimensió de la imatge (el rang de T ).

El conucli d'un operador lineal T: V → W es defineix com l'espai quocient W /im(T).

Quocient d'un espai Banach per un subespai

Si X és un Espai de Banach i M és un subespai tancat de X, llavors el quocient X/M és també un espai Banach. L'espai quocient ve dotat d'una estructura d'espacial vectorial per la construcció de la secció prèvia. Es defineix una norma sobre X/M per

$\|[x]\|_{X/M}=\inf _{m\in M}\|x-m\|_{X}.$

L'espai quocient X/M és complet respecte a la norma, per tant és un espai Banach.

Exemples

Es nota per C [0,1] l'espai de Banach de funcions reals contínues en l'interval [0,1] amb la norma uniforme. Es nota el subespai de totes les funcions f ∈ C [0,1] amb f (0) = 0 per M. Llavors la classe d'equivalència d'alguna funció g està determinada pel seu valor a 0, i el seu espai quocient C [0,1] / M és isomorf a R.

Si X és un Espai de Hilbert, llavors l'espai quocient X/M és isomorf als complements ortogonals de M.

Generalització a espais localment convexos

El quocient d'un espai localment convex per un subespai tancat és també localment convex (Dieudonné 1970, 12.14.8). En efecte, suposant que X és localment convex de manera que la topologia en X és generada per una família de seminormes {p _α;|α;∈A } on A és un conjunt índex. Sia M un subespai tancat, i es defineixen seminormes q _α en X /M

$q_{\alpha }([x])=\inf _{x\in [x]}p_{\alpha }(x).$

Llavors X/M és un espai localment convex, i la seva topologia és la topologia quocient.

Si, a més X és metritzable, llavors també ho és X/M. Si X és un Espai de Fréchet, llavors també ho és X/M (Dieudonné 1970, 12.11.3).

Vegeu també

• Conjunt quocient
• Grup quocient
• Espai quocient (en topologia)

Referències

• Halmos, Paul (1974), Finite dimensional vector spaces, Springer, ISBN 978-0387900933.

• Finite dimensional vector spaces. Springer, 1974. ISBN 978-0387900933. .
• Dieudonné, Jean (1970), Treatise on analysis, Volume II, Academic Press.

• Treatise on analysis, Volume II. Academic Press, 1970. .