Vés al contingut

Taula d'integrals: diferència entre les revisions

m
Robot afegeix: fa:جدول مختصر انتگرال‌ها; canvis cosmètics
m (Robot afegeix: fa:جدول مختصر انتگرال‌ها; canvis cosmètics)
El càlcul de [[primitiva|primitives]] és una de les dues operacions bàsiques del [[càlcul]]. Per a la [[derivada|derivació]] hi ha unes regles senzilles amb les quals es pot trobar la derivada de qualsevol [[funció (matemàtiques)|funció]] per complicada que sigui, a partir del càlcul de les derivades de les seves funcions components més senzilles. En el cas de la integral si s'ha de trobar una [[primitiva]] de la funció, això no passa, per tant molt sovint és útil tenir a mà una '''taula d'integrals''' conegudes.
 
També es diu '''taules de primitives''' i de fet resulta més apropiada aquesta expressió tret dels casos on hi ha valors concrets d'integrals definides, però històricament les primeres taules tenien el nom de taules d'integrals i és així com hom les coneix més habitualment.
De fet aquestes taules només són una altra forma de presentar les [[taula de derivades|taules de derivades]].
 
== Desenvolupament històric de les taules d'integrals ==
Una compilació d'una llista d'integrals (Integraltafeln) i de tècniques de càlcul integral la va publicar el matemàtic alemany [[Meyer Hirsch]] al 1810. Aquestes taules es varen reimprimir al Regne Unit al 1823. Unes taules més extenses les va compilar al 1858 el matemàtic holandès [[David de Bierens de Haan]]. Una nova edició es va publicar al 1862. Aquestes taules, que contenen principalment integrals de funcions elementals, varen mantenir-se en ús fins a mitjan el segle XX. Llavors varen ser desplaçades per les taules molt més extenses de Gradshteyn i Rhyzik.
A la taula de Gradshteyn i Rhyzik, les integrals procedents del llibre de de Bierens s'indiquen amb BI.
 
== Taules de primitives ==
=== Funcions racionals ===
{{principal|Llista d'integrals de funcions racionals}}''
:<math>\int \,dx = x + C</math>
:<math>\int {dx \over {a^2+b^2x^2}} = {1 \over ab}\arctan {bx \over a} + C</math>
 
=== Funcions irracionals ===
{{principal|Llista d'integrals de funcions irracionals}}''
 
:<math>\int {dx \over x \sqrt{x^2-a^2}} = {1 \over a} \sec^{-1} {|x| \over a} + C</math>
 
=== Funcions logarítmiquess ===
 
{{principal|Llista d'integrals de funcions logarítmiques}}''
:<math>\int \log_b {x}\,dx = x\log_b {x} - x\log_b {e} + C</math>
 
=== Funcions exponencials ===
{{principal|Llista d'integrals de funcions exponencials}}''
 
:<math>\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C</math>
 
=== Funcions trigonomètriques ===
{{principal|Llista d'integrals de funcions trigonomètriques}}''
{{principal|Llista d'integrals d'inverses de funcions trigonomètriques}}''
:<math>\int \arctan{x} \, dx = x \, \arctan{x} - \frac{1}{2} \ln{\left| 1 + x^2\right|} + C</math>
 
=== Funcions hiperbòliques ===
{{principal|Llista d'integrals de funcions hiperbòliques}}''
 
:<math>\int \mbox{sech}^2 x\, dx = \tanh x + C</math>
 
=== Inverses de les funcions hiperbòliques ===
: <math>\int \operatorname{arcsinh} x \, dx = x \operatorname{arcsinh} x - \sqrt{x^2+1} + C</math>
: <math>\int \operatorname{arccosh} x \, dx = x \operatorname{arccosh} x - \sqrt{x^2-1} + C</math>
: <math>\int \operatorname{arccoth}\,x \, dx = x \operatorname{arccoth} x+ \frac{1}{2}\log{(x^2-1)} + C</math>
 
== Integrals definides que no tenen primitives tancades ==
 
Hi ha funcions les primitives de les quals ''no es poden'' expressar en una forma tancada (no es poden expressar com a composicions, sumes i multiplicacions de funcions racionals, irracionals, exponencials, logarítmiques, trigonomètriques i inverses de les funcions trigonomètriques). En canvi, els valors de les integrals definides d'aquestes funcions sobre alguns intervals comuns, es poden calcular simbòlicament i obtenir-ne un valor exacte. Tot seguin se'n donen unes quantes d'utilitats.
(atribuïda a [[Johann Bernoulli]]; vegeu [[somni de sophomore]]).
 
== Vegeu també ==
 
* [[Llista d'integrals de funcions racionals]]
* [[Llista d'integrals de funcions irracionals]]
* [[Llista d'integrals de funcions trigonomètriques]]
* [[Llista d'integrals d'inverses de funcions trigonomètriques]]
* [[Llista d'integrals de funcions hiperbòliques]]
* [[Llista d'integrals de funcions inverses de les funcions hiperbòliques]]
* [[Llista d'integrals de funcions exponencials]]
* [[Llista d'integrals de funcions logarítmiques]]
 
== Referències ==
* [http://eqworld.ipmnet.ru/en/auxiliary/aux-integrals.htm Indefinite and Definite Integrals] ''(at EqWorld)''
 
=== Taules històriques ===
* Meyer Hirsch, [http://books.google.com/books?id=Cdg2AAAAMAAJ&printsec=titlepage&dq=integraltafeln&as_brr=1&hl=en Integraltafeln, oder, Sammlung von Integralformeln] (Duncker un Humblot, Berlin, 1810)
* Meyer Hirsch, [http://books.google.com/books?id=NsI2AAAAMAAJ&pg=PA97-IA4&dq=integrals+tables&as_brr=1&hl=en Integral Tables, Or, A Collection of Integral Formulae] (Baynes and son, London, 1823)
 
{{ORDENA:Taula D'Integrals}} <!--ORDENA generat per bot-->
 
[[Categoria:Taules d'integrals| ]]
 
[[en:Lists of integrals]]
[[es:Anexo:Integrales]]
[[fa:جدول مختصر انتگرال‌ها]]
[[gl:Lista de integrais]]
[[hr:Popisi integrala]]
205.097

modificacions