|
|
Línia 1: |
Línia 1: |
|
{{vegeu|l'estructura algebraica|Norma (matemàtiques)}} |
|
{{vegeu|l'estructura algebraica|mòdul d'un vector}} |
|
|
|
|
|
Un '''''A''-mòdul''' és una [[estructura algebraica]] que involucra un [[anell_(matemàtiques)|anell]] '''''A''''' i un [[grup abelià]]. Es tracta d'una generalització de l'estructura d'[[espai vectorial]] en la què el [[cos_(matemàtiques)|cos]] d'escalars es restringeix a un anell. |
|
Un '''''A''-mòdul''' és una [[estructura algebraica]] que involucra un [[anell_(matemàtiques)|anell]] '''''A''''' i un [[grup abelià]]. Es tracta d'una generalització de l'estructura d'[[espai vectorial]] en la què el [[cos_(matemàtiques)|cos]] d'escalars es restringeix a un anell. |
|
Aquest article tracta sobre l'estructura algebraica. Vegeu-ne altres significats a «mòdul d'un vector».
|
Un A-mòdul és una estructura algebraica que involucra un anell A i un grup abelià. Es tracta d'una generalització de l'estructura d'espai vectorial en la què el cos d'escalars es restringeix a un anell.
A-mòduls per l'esquerra
Sigui un anell i un grup abelià. El grup té estructura de -mòdul per l'esquerra si l'anell opera linealment per l'esquerra sobre els elements de , és a dir, si hi ha una operació externa de sobre :
|
amb les condicions de linealitat
|
|
|
per a i . Si, a més, l'anell té unitat, es demana que
|
A-mòduls per la dreta
Si l'operació externa és per la dreta,
|
amb les corresponents condicions de linealitat:
|
|
|
aleshores es tracta d'un -mòdul per la dreta.
A-mòduls bilàters
Si l'anell és conmutatiu, aleshores és possible la identificació , perquè les condicions i ja no són contradictòries. Aleshores té estructura de -mòdul bilàter o, simplement, d'-mòdul. El costum, però, és d'escriure'n les propietats i els càlculs com si es tractés d'un -mòdul per l'esquerra.
Exemples
- Si és un anell, ell mateix es pot considerar com a -mòdul de manera natural:
|
- Els grups conmutatius són -mòduls. En efecte, si és un grup conmutatiu (notació aditiva) i , l'operació externa de sobre donada per:
|
dota al grup d'una estructura de -mòdul.
- Els espais vectorials sobre un cos són -mòduls.
- Si és l'anell d'endomorfismes d'un -mòdul , l'operació externa
|
fa que es pugui considerar un -mòdul.
- Si és un anell i n'és un ideal (per l'esquerra), aleshores el propi , amb l'operació
|
és un -mòdul (per l'esquerra), perquè, per a tot i tot , el producte pertany a .