Fibrat: diferència entre les revisions

Contingut suprimit Contingut afegit

En línia

Revisió del 14:57, 15 abr 2011

En geometria, un fibrat (o feix fibrat) és una funció contínua suprajectiva π, d'un espai topològic V a un altre espai topològic B, que satisfà una altra condició que ho fa d'una manera particularment simple localment. Introduint un altre espai topològic F, utilitzem la funció de projecció de B × F → B com a model. Per exemple en el cas d'un fibrat vectorial, F és un espai vectorial sobre els nombres reals.

Definició

Un fibrat consisteix en una quaterna $(E,B,\pi ,F)$ , on E, B i F són varietats i $\pi :E\longrightarrow B$ és una aplicació contínua i suprajectiva, de manera que s'ha de complir que qualsevol element $x\in B$ té un entorn $U_{\alpha }$ dins de B, tal que $\pi ^{-1}(U_{\alpha })$ és homeomorf a $U_{\alpha }\times F$ , d'una manera que $\pi$ transporta a la projecció sobre el primer factor (és a dir, si $p:U_{\alpha }\times F\longrightarrow U_{\alpha }$ satisfà $p(i,f)=i$ qualsevol que siguin $i\in U_{\alpha }$ i $f\in F$ ). A més s'exigeix que $\phi _{\alpha }:\pi ^{-1}(U_{\alpha })\longrightarrow U_{\alpha }\times F$ sigui un homeomorfisme. Així $\pi =p\circ \phi _{\alpha }$ .

La varietat B es denomina espai de base del fibrat, E es diu espai total, per a tota $x\in B$ el conjunt $\pi ^{-1}(x)$ es diu la fibra en x i la funció $\pi$ s'anomena la funció de projecció.

Exemples

Cada funció de projecció natural p: B × F → B és un fibrat. Els fibrats com aquests es diuen els fibrats trivials. Un exemple estàndard, localment trivial però no (globalment) trivial és la banda de Möbius com L, en la qual B es pot prendre com un cercle i F un segment de línia. La torçada de la cinta és evident només globalment, mentre que localment l'estructura de la cinta defineix la topologia. Cada fibrat vectorial és un fibrat; aquí F és un espai vectorial sobre els nombres reals. Per qualificar com fibrat vectorial, les transicions que relacionen els entorns localment trivials hauran de ser lineals també. Cada espai recobridor) és un fibrat, aquí l'espai fibra F és discret.

Cada fibrat π: L → B és una funció oberta, ja que les projeccions de productes cartesians són funcions obertes.

Seccions

Una secció d'un fibrat és una funció contínua, f : B → E tal que π(f(x)) = x, per a tot element x de B. Com que els fibrats en general no tenen seccions, un dels propòsits de la teoria és explicar la seva existència. Això condueix a la teoria de les classes característiques a topologia algebraica.

Aplicacions

Un dels usos primaris dels fibrats és a les teoria de gauge.

Vegeu també

Enllaços externs

@@ Línia 1: / Línia 1: @@
-En [[topologia]], un ''' fibrat ''' (o ''' fes fibrat ''') és una [[Funció matemàtica|funció]] [[contínua]] [[suprajectiva]] π, d'un [[espai topològic]] '' V '' a un altre [[espai topològic]] '' B '', satisfent una altra condició que ho fa d'una manera particularment simple localment. Introduint un altre espai topològic F, utilitzem la funció de projecció de '' B '' x '' F '' → '' B '' com a model. Per exemple en el cas d'un [[fibrat vectorial]], '' F '' és un [[espai vectorial]] sobre els nombres reals.
+En [[geometria]], un '''fibrat''' (o '''feix fibrat''') és una [[Funció matemàtica|funció]] [[contínua]] [[suprajectiva]] π, d'un [[espai topològic]] ''V'' a un altre [[espai topològic]] ''B'', que satisfà una altra condició que ho fa d'una manera particularment simple localment. Introduint un altre espai topològic ''F'', utilitzem la funció de projecció de ''B'' × ''F'' → ''B'' com a model. Per exemple en el cas d'un [[fibrat vectorial]], ''F'' és un [[espai vectorial]] sobre els nombres reals.
 == Definició ==
-Un ''' fibrat ''' consisteix en un quaternal <math> (E, B,\pi, F)\, </math>, on <math> E\, </math>, <math> B\, </math> i <math> F\, </math> són [[varietat]]s i <math>\pi: E\longrightarrow B </math> és una [[funció contínua|aplicació contínua]] i [[funció suprajectiva|suprajectiva]], de manera que s'ha de complir que per a qualsevol <math> x\in B\, </math> hi ha un entorn <math> U_{\alpha}\, </math> a <math> B\, </math>, tal que <math>\pi^{-1}(U_{\alpha})\, </math> és homeomorf a <math> U_{\alpha}\times F\, </math >, d'una manera que <math>\pi\, </math> transporta a la projecció sobre el primer factor (és a dir, si <math> p: U_{\alpha}\times F\longrightarrow U_{\alpha}</math> és la projecció sobre <math> U_{\alpha}\, </math>; ie, <math> p (i, f) = i\, </math> qualsevol que siguin <math> i\in U_{\alpha}\, </math> i <math> f\in F\, </math>). A més s'exigeix que <math>\phi_{\alpha}:\pi^{-1}(U_{\alpha})\longrightarrow U_{\alpha}\times F </math> sigui un [[Homeomorfisme]]. Així <math>\pi = p\circ\phi_{\alpha}</math>.
+Un '''fibrat''' consisteix en una quaterna <math>(E, B,\pi, F)</math>, on ''E'', ''B'' i ''F'' són [[varietat]]s i <math>\pi: E\longrightarrow B </math> és una [[funció contínua|aplicació contínua]] i [[funció suprajectiva|suprajectiva]], de manera que s'ha de complir que qualsevol element <math> x\in B </math> té un entorn <math> U_{\alpha}</math> dins de ''B'', tal que <math>\pi^{-1}(U_{\alpha}) </math> és [[homeomorf]] a <math> U_{\alpha}\times F </math >, d'una manera que <math>\pi</math> transporta a la projecció sobre el primer factor (és a dir, si <math>p: U_{\alpha}\times F\longrightarrow U_{\alpha}</math> satisfà <math> p (i, f) = i </math> qualsevol que siguin <math> i\in U_{\alpha}</math> i <math> f\in F </math>). A més s'exigeix que <math>\phi_{\alpha}:\pi^{-1}(U_{\alpha})\longrightarrow U_{\alpha}\times F </math> sigui un [[homeomorfisme]]. Així <math>\pi = p\circ\phi_{\alpha}</math>.
 <div style="text-align: center;">
@@ Línia 9: / Línia 9: @@
-<math> B\, </math> es diu el ''' espai de base ''' del fibrat, <math> E\, </math> l'''' espai total ''', per a qualsevol <math> x\in B\, </math>, <math>\pi^{-1}(x)\, </math> es diu la [[fibra]] En <math> x\, </math> i la funció <math>\pi\, </math> s'anomena la funció de projecció.
+La varietat ''B'' es denomina '''espai de base''' del fibrat, ''E'' es diu '''espai total''', per a tota <math> x\in B </math> el conjunt <math>\pi^{-1}(x)</math> es diu la '''[[fibra]] en ''x''''' i la funció <math>\pi</math> s'anomena la '''funció de projecció'''.
 == Exemples ==
-Cada funció de projecció natural '' p '': '' B '' x '' F '' → '' B '' és un fibrat. Els fibrats com aquests es diuen els ''' fibrats trivials '''. Un exemple estàndard, localment trivial però no (globalment) trivial és la [[Banda de Möbius]] com '' L '', en la qual '' B '' es pot prendre com un cercle i F un segment de línia. L''' torçada '' a la cinta és evident només globalment, mentre que localment l'estructura de la cinta defineix la topologia. Cada [[fibrat vectorial]] és un fibrat; aquí '' F '' és un [[espai vectorial]] sobre els nombres reals. Per qualificar com fibrat vectorial, les transicions que relacionen les veïnatges localment trivialitzar hauran de ser lineals també. Cada [[espai recobridores]] (en anglès '' covering space '') és un fibrat, aquí l'espai fibra '' F '' és [[discret]].
+Cada funció de projecció natural ''p'': ''B'' × ''F'' → ''B'' és un fibrat. Els fibrats com aquests es diuen els '''fibrats trivials'''. Un exemple estàndard, localment trivial però no (globalment) trivial és la [[banda de Möbius]] com ''L'', en la qual ''B'' es pot prendre com un cercle i ''F'' un segment de línia. La ''torçada'' de la cinta és evident només globalment, mentre que localment l'estructura de la cinta defineix la topologia. Cada [[fibrat vectorial]] és un fibrat; aquí ''F'' és un [[espai vectorial]] sobre els nombres reals. Per qualificar com fibrat vectorial, les transicions que relacionen els entorns localment trivials hauran de ser lineals també. Cada [[espai recobridor]]'') és un fibrat, aquí l'espai fibra ''F'' és [[discret]].
-Cada fibrat π: '' L '' → '' B '' és una [[funció oberta]], ja que les projeccions de productes cartesians són funcions obertes.
+Cada fibrat ''π'': ''L'' → ''B'' és una [[funció oberta]], ja que les projeccions de productes cartesians són funcions obertes.
 == Seccions ==
-Una [[secció (matemàtiques)|secció]] d'un fibrat és una funció contínua, '' f '': '' B '' → '' e '' tal que '' π (f (x)) = x '', per '' x '' a '' B ''. Com els fibrats en general no té seccions, un dels propòsits de la teoria és explicar la seva existència. Això condueix a la teoria de les [[classe característica|classes característiques]] a [[topologia algebraica]].
+Una [[secció (matemàtiques)|secció]] d'un fibrat és una funció contínua, '' f '': ''B'' → ''E'' tal que ''π''(''f''(''x'')) = ''x'', per a tot element ''x'' de ''B''. Com que els fibrats en general no tenen seccions, un dels propòsits de la teoria és explicar la seva existència. Això condueix a la teoria de les [[classe característica|classes característiques]] a [[topologia algebraica]].
-== Grup estructural ==
-Hi ha, de vegades, un [[grup topològic]] '' G '' de transformacions de '' L '', tal que si '' ρ '' denota l'acció, '' π (ρ (g) [e]) = π (i) '' per '' g '' a '' G '' i '' i '' a '' L ''. La condició indica que cada [[òrbita (matemàtiques)|G-òrbita]] resideix dins d'una sola fibra. En aquest cas, '' G '' es diu [[grup (matemàtiques)|grup]] estructural del fibrat. Per qualificar com '' G ''-fibrat, les condicions que s'aparellen entre les veïnatges trivialitzar locals haurien de ser [[els Intertwined]] s de [[acció del grup|G-accions]] també.
-Si, a més, actua '' G '' [[acció del grup|lliurement]], [[acció del grup|transitivament]] i [[continu|contínuament]] sobre cada fibra, aleshores anomenem l'fibrat ''' fibrat principal de '''. Un exemple d'un fibrat principal que passa naturalment en geometria és el fibrat de totes les bases dels [[espai tangent|espais tangents]] a una [[varietat]], amb '' G '' [[grup general lineal]], la restricció en [[geometria de Riemann]] a les bases ortonormals, limitaria G al [[grup ortogonal]]. Vegeu [[vierbein]] per a més detalls.
-Fer '' G '' explícit és essencial per a les operacions de crear un [[fibrat associat]], i fer necessària la [[reducció del grup estructural d'un fibrat]].
 == Aplicacions ==
-Un dels usos primaris dels fibrats és a les [[teoria de gauge|teories de calibre]].
+Un dels usos primaris dels fibrats és a les [[teoria de gauge]].
 == Vegeu també ==
@@ Línia 38: / Línia 32: @@
 * [http://mathworld.wolfram.com/FiberBundle.html MathWorld: Fiber Bundle]
-[[Categoria:Topologia]]
+[[Categoria:Geometria]]
 [[de:Faserbündel]]