Paradoxa de Russell

La paradoxa de Russell descrita per Bertrand Russell en 1901 demostra que la teoria original de conjunts formulada per Cantor i Frege és contradictòria.

Suposem un conjunt que consta de conceptes que no són membres de si mateixos. Un exemple descrit, és el conjunt que consta de "idees abstractes" és membre de si mateix perquè el conjunt és ell mateix una idea abstracta, mentre que un conjunt que consta de "llibres" no és membre de si mateix perquè el conjunt no és un llibre. En la seua paradoxa, Russell preguntava (en carta escrita a Frege en 1902), si el conjunt de conceptes que no formen part d'ells mateixos formen part de si mateix. Si no forma part de si mateix, pertanyen al tipus de conjunts que sí que formen part de si mateixos.

Anomenem M a "el conjunt de tots els conjunts que no es contenen a si mateixos com a membres". Llavors, M és un element de M si i només si M no és un element de M, la qual cosa és absurd.

Un desenvolupament mes formal és presenta en Teoria Intuïtiva de Conjunts.

La paradoxa de Russell ha sigut expressada en divers tèrmit mes quotidians, el mes conegut és la paradoxa del barber

«el barber d'aquesta ciutat, que afaita tots els homes que no s'afaiten a si mateixos, s'afaita a si mateix?»

La paradoxa en termes del barber

La paradoxa de Russell ha estat expressada en diversos termes més planers, el més conegut és la paradoxa del barber que es pot enunciar de la manera següent:

En un llunyà poblat d'un antic emirat hi havia un barber cridat As-Samet destre en afaitar caps i barbes, mestre en esporgar peus i en posar sangoneres . Un dia l'emir es va adonar de la falta de barbers a l'emirat, i va ordenar que els barbers només afaitessin a aquelles persones, del poble, que no poguessin fer-ho per si mateixes. Un dia l'emir va cridar a As-Samet perquè l'afaités i ell li va explicar les seves angoixes: - Al meu poble sóc l'únic barber. No puc afaitar el barber del meu poble-que sóc jo-, ja que llavors puc afaitar-me per mi mateix i està prohibit!. Però, si en canvi no m'afaito, llavors algun barber m'ha d'afaitar, però ja he dit que sóc l'únic barber del meu poble! L'emir va pensar que els seus pensaments eren tan profunds, que el va premiar amb la mà de la més virtuosa de les seves filles. Així, el barber As-Samet va viure per sempre feliç.

A lògica de primer ordre, la paradoxa del barber es pot expressar com:

(4)$\forall x\qquad \mathrm {s'afaita} (x,barber)\iff \neg \mathrm {s'afaita} (x,x)$

on $\mathrm {s'afaita} (x,y)$ vol dir" $x$ és afaitat per $i$ ". L'anterior es llegiria com "Cada persona és afaitat pel barber si i només si no s'afaita a si mateixa". És important notar la semblança entre les equacions (2) i (4). Al substituir $x$ per $barber$ s'obté

(5)$\mathrm {s'afaita} (barber,barber)\iff \neg \mathrm {s'afaita} (barber,barber)$

és a dir que el barber s'afaita a si mateix si i només si no s'afaita a si mateix, la qual cosa és una contradicció.

Explicació de la paradoxa

Els conjunts són reunions de coses, per exemple de cotxes, llibres, persones, etc., i en aquest sentit els anomenarem conjunts normals.

La característica principal d'un conjunt normal és que no és contenen a si mateixos.

Però també hi ha conjunts de conjunts, com 2^M, que és el conjunt de subconjunts de M.

Un conjunt de conjunts és normal excepte si podem fer que és contingui a si mateix.

Això últim no és difícil, si tenim el conjunt de tots els coses que NO són llibres i com un conjunt no és un llibre, el conjunt de totes els coses que NO són llibres formarà part del conjunt de totes les coses que NO són llibres.

Aquests conjunts que és contenen a si mateixos s'anomenen conjunts singulars.

Està clar que un conjunt donat o be és normal o be és singular, no hi ha terme mitjà. O és conté a si mateix o no és conté.

Ara prenguem el conjunt C com el conjunt de tots els conjunts normals. Quina classe de conjunt és C? Normal o singular?

Si és normal, estarà dins del conjunt de conjunts normals, que és C després ja no pot ser normal.

Si és singular, no pot estar dins del conjunt de conjunts normals, després no pot estar en C, però si no està en C llavors és normal.

Qualsevol alternativa ens produeix una contradicció, aquesta és la paradoxa.

Vegeu també

• Teoria de conjunts