Partició (matemàtiques)

Partició del cercle en 6 parts{A ₁ , ... , A ₆ }

A matemàtica, la família de subconjunts {A _i : i ∈ I} d'un conjunt A és una partició (sobre A) si es compleix que:

1. $A_{i}\neq \emptyset$ per a tot $i\in I$.
2. $\bigcup _{i\in I}A_{i}=A$.
3. $A_{i}\cap A_{j}\neq \emptyset \Rightarrow A_{i}=A_{j}$.

Per tant, es tracta d'un recobriment en el qual els subconjunt s pertanyents a la família, dos a dos, són disjunts (és a dir, el seu intersecció és buida).

Exemples

• Tot conjunt d'un element { x } té exactament una partició: { { x } }.
• Per a qualsevol conjunt no buit X , P = { X } és una partició de X .
• El conjunt {1, 2, 3} té aquestes 5 particions:
  • { {1},{2},{3} }, de vegades expressada 1/2/3.
  • { {1, 2},{3} }, de vegades expressada 12/3.
  • { {1, 3},{2} }, de vegades expressada 13/2.
  • { {1},{2, 3} }, de vegades expressada 1/23.
  • { {1, 2, 3} }, de vegades expressada 123.
• Observeu que
  • { {},{1,3},{2} }, no és una partició (ja que conté el conjunt buit).

El nombre de particions d'un conjunt finit

El nombre de Bell B _n , anomenat així en honor a Eric Temple Bell, és el nombre de particions diferents d'un conjunt finit amb n elements. Els primers nombres de Bell són:

B ₀ = 1, B ₁ = 1, B ₂ = 2, B ₃ = 5, B ₄ = 15, B ₅ = 52, B ₆ = 203 OEIS:successió

Els nombres de Bell satisfan la següent relació recursiva: $B_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{k}$.

Vegeu també

• recobriment (matemàtiques)