Geometria riemanniana

En geometria diferencial, la geometria riemanniana és l'estudi de les varietats diferencials amb mètrica de Riemann, és a dir, d'una aplicació que a cada punt de la varietat li assigna una forma quadràtica definida positiva al seu espai tangent, una aplicació que varia lleugerament d'un punt a un altre. Això dona lloc a idees locals de (entre altres magnituds) angle, longitud de corba i de volum. A partir d'aquestes magnituds, es poden obtenir altres magnituds per integració de les magnituds locals.

Això va ser proposat de forma general per primera vegada per Bernhard Riemann durant el segle xix. Com a casos especials particulars apareixen els dos tipus convencionals (geometria el·líptica i geometria hiperbòlica) de geometria no euclidiana i també la geometria euclidiana. Totes aquestes geometries són tractades sobre la mateixa base, de la mateixa manera que una àmplia gamma de geometries amb propietats mètriques que varien de punt a punt.

Qualsevol varietat diferenciable admet una mètrica de Riemann i aquesta estructura addicional sovint ajuda a solucionar problemes de topologia diferencial. També serveix com a nivell d'entrada per a l'estructura més complicada de les varietats pseudo-Riemann, les quals (en el cas particular de tenir dimensió 4) són objectes principals de la teoria de la relativitat.

No hi ha una introducció fàcil a la geometria riemanniana, ara bé, els següents articles poden fer-ne la funció:

1. Tensor mètric
2. Varietat de Riemann
3. Connexió de Levi-Civita
4. Curvatura
5. Tensor de curvatura

Teoremes clàssics de la geometria riemanniana

Ara ve una llista no completa dels teoremes més clàssics de la geometria riemanniana. L'elecció s'ha fet depenent de la seva importància i la seva simplicitat de la formulació.

Teoremes generals

1. Teorema de Gauss-Bonnet La integral de la curvatura de Gauss en una varietat riemanniana compacta de 2 dimensions és igual a $2\pi \chi (M)$, aquí $\chi (M)$ denota la característica d'Euler de M.
2. Teorema d'immersió de Nash també anomenat Teorema Fonamental de la geometria riemanniana. Indica que cada varietat de Riemann pot estar isomètricament submergida en un espai euclidià Rⁿ.

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Geometria riemanniana