Nombres de Bernoulli

n	$B_{n}$
0	$1$
1	$\pm {\frac {1}{2}}$
2	${\frac {1}{6}}$
3	0
4	$-{\frac {1}{30}}$
5	0
6	${\frac {1}{42}}$
7	0
8	$-{\frac {1}{30}}$
9	0
10	${\frac {5}{66}}$
11	0
12	$-{\frac {691}{2730}}$
13	0
14	${\frac {7}{6}}$
15	0
16	$-{\frac {3617}{510}}$
17	0
18	${\frac {43867}{798}}$
19	0
20	$-{\frac {174611}{330}}$

En matemàtiques, els Nombres de Bernoulli, denotats normalment per $B_{n}$ (o bé $b_{n}$ per diferenciar-los dels nombres de Bell), són una seqüència de nombres racionals amb connexions profundes amb la teoria de nombres. Els valors dels primers nombres de Bernoulli es mostren a la taula de la dreta.

Els nombres de Bernoulli apareixen a l'expansió en sèrie de Taylor de les funcions tangent i tangent hiperbòlica, en les fórmules per la suma de potències dels primers nombres naturals, a la fórmula d'Euler–Maclaurin i a l'expressió de certs valors de la funció zeta de Riemann.

Com que $B_{1}=\pm {\frac {1}{2}}$, se li dona el nom de segon nombre de Bernoulli. Com que $B_{n}=0$ per a tot senar $n>1$, molts autors denoten aquesta sèrie amb $B_{2n}$.

Història

Els nombres de Bernoulli van ser descoberts independentment i en la mateixa època pels matemàtics Jakob Bernoulli (suís), del qui prenen el nom, i Takakazu Seki (japonès). El descobriment de Seki va ser publicat de forma pòstuma el 1712 en la seva obra Katsuyo Sampo. El descobriment de Bernoulli, també publicat pòstumament el 1713, en la seva obra Ars Conjecturandi. El descobriment de Bernoulli és una generalització de la fórmula de Faulhaber (1631) per a la suma de les primeres 17 potències dels nombres naturals:

$N=\displaystyle \sum \limits _{i=0}^{n}i^{p}=1^{p}+2^{p}+3^{p}+...+n^{p}$

i el 1755, Euler va demostrar les fórmules de Bernoulli, donant el nom de nombres de Bernoulli als coeficients obtinguts.

Vegeu també

• Teorema de von Staudt-Clausen

Bibliografia

• Edwards, A.W.F. «Sums of Powers of Integers: A Little of the History» (en (anglès)). The Mathematical Gazette, Vol. 66, Num. 435, 1974, pàg. 22-28. ISSN: 0025-5572.
• Knuth, Donald E. «Johan Faulhaber and sums of powers» (en (anglès)). Mathematics of Computation, Vol. 61, Num. 203, 1993, pàg. 277-294. ISSN: 1088-6842.
• Shigeru, Hochi. «The Dawn of Wasan (Japanese Mathematics)». A: Selin, Helaine (ed.). Mathematics Across Cultures: The History of Non-Western Mathematics (en (anglès)). Dordrecht: Kluwer Academic, 2000. ISBN 1-4020-0260-2. 
• Styan, George P.H.; Trenkler, Götz «A Philatelic Excursion with Jeff Hunter in Probability and Matrix Theory» (en (anglès)). Journal of Applied Mathematics and Decision Sciences, Vol. 2007, 2007, pàg. 1-10. DOI: 10.1155/2007/13749.