Teorema de Wolstenholme

En teoria de nombres, el teorema de Wolstenholme, en honor del matemàtic britànic Joseph Wolstenholme qui el va enunciar per primera vegada el 1862, és un teorema que permet relacionar determinats nombres primers amb els nombres de Bernoulli.

Definició

Si $p$ és un nombre primer i $p>3$, aleshores el numerador del nombre harmònic (p-1)-èsim és divisible per $p^{2}$:

$H_{p-1}=1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+...+{1 \over p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$

i el numerador del nombre harmònic generalitzat

$H_{p-1,2}=1+{1 \over 2^{2}}+{1 \over 3^{2}}+...+{1 \over (p-1)^{2}}\equiv 0{\pmod {p}}$

Aquests numeradors de $H_{p-1,2}$ es denominen nombres de Wolstenholme.

Això implica que el coeficient binomial

${2p-1 \choose p-1}\equiv 1{\pmod {p^{3}}}$

Exemple

Per $p=11$, el seu nombre harmònic seria:

$H_{11}={2520 \over 2520}+{1260 \over 2520}+{840 \over 2520}+{630 \over 2520}+{504 \over 2520}+{420 \over 2520}+{360 \over 2520}+{315 \over 2520}+{280 \over 2520}+{252 \over 2520}={7381 \over 2520}$

i el seu numerador

$7381\equiv 0{\pmod {11^{2}=121}}$

i el seu nombre harmònic generalitzat seria:

$H_{11,2}={6350400 \over 2520}+{1587600 \over 6350400}+{705600 \over 6350400}+{396900 \over 6350400}+{254016 \over 6350400}+{176400 \over 6350400}+{129600 \over 6350400}+{99225 \over 6350400}+{78400 \over 6350400}+{63504 \over 6350400}={9841645 \over 6350400}$

i el seu numerador

$9841645\equiv 0{\pmod {11}}$

Nombres primers de Wolstenholme

Es diu que un nombre primer és de Wolstenholme si, i només si,

${2p-1 \choose p-1}\equiv 1{\pmod {p^{4}}}$

Només es coneixen dos nombres primers de Wolstenholme: $16843$ i $2124679$ (successió A088164 a l'OEIS). A més, l'any 2007, McIntosh i Roettger van demostrar que si n'existeix algun altre, ha de ser més gran que $10^{9}$.

Bibliografia

• Helou, Charles; Terjanian, Guy «On Wolstenholme's theorem and its converse» (en (anglès)). Journal of Number Theory, Vol. 128, Num. 3, 2008, pàg. 475-499. DOI: 10.1016/j.jnt.2007.06.008. ISSN: 0022-314X.
• Keng, Hua Loo. Introduction to Number Theory (en (anglès)). Springer, 1982. ISBN 978-3-642-68132-5. 
• Mestrovic, Romeo «Wolstenholme's theorem: Its Generalizations and Extensions in the last hundred and fifty years (1862--2012)» (en (anglès)). arXiv 1111.3057, 2011, pàg. 1-31.

Enllaços externs

• Weisstein, Eric W. «Wolstenholme's Theorem». MathWorld--A Wolfram Web Resource. [Consulta: 27 abril 2017].
• Weisstein, Eric W. «Wolstenholme Prime». MathWorld--A Wolfram Web Resource. [Consulta: 27 abril 2017].