Espiral sinusoïdal

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Espiral sinusoidal amb n=2,5 (línia contínua) i amb n=-2,5 línia de punts.
Espiral sinusoidal amb n=0,5 (línia contínua) i amb n=-0,5 línia de punts.
Espiral sinusoidal amb n=3 (línia contínua) i amb n=-3 línia de punts.

En geometria, les espirals sinusoïdals són una família de corbes definides per l'equació en coordenades polars

on a és una constant diferent de zero i n és un nombre racional diferent de 0. Amb una rotació entorn de l'origen, també es pot escriure

El terme "espiral" és enganyós, perquè no són de fet espirals, i sovint tenen una forma similar a una flor. Moltes corbes conegudes són espirals sinusoïdals incloent-hi:

Aquestes corbes varen ser estudiades per primera vegada per Colin Maclaurin.

Equacions[modifica | modifica el codi]

Derivant

i eliminant a s'obté una equació diferencial en r i θ:

.

Llavors

que implica que l'angle tangencial polar és

i així l'angle tangencial és

.

(Aquí el signe és positiu si i tenen el mateix signe i negatiu altrament.)

El vector unitari tangent

,

té longitud u, per tant comparant la magnitud dels vectors a cada costat de l'equació de dalt dóna

.

En particular, la llargada d'un bucle únic quan és:

La curvatura ve donada per

.

Propietats[modifica | modifica el codi]

La corba inversa d'una espiral sinusoïdal respecte a una circumferència amb centre a l'origen és una altra espiral sinusoïdal el valor de n de la qual és el negatiu del valor n de la corba original. Per exemple, la inversa de la lemniscata de Bernoulli és una hipèrbole.

L'isoptica, la podaria i la podaria negativa d'una espiral sinusoïdal són espirals sinusoïdals diferents.

El camí que segueix una partícula sotmesa a una força central proporcional a una potència de r és una espiral sinusoïdal.

Quan n és un enter, i es tracen n punts a intervals regulars sobre una circumferència de radi a, llavors el conjunt de punts tals que la mitjana geomètrica de les distàncies del punt fins als n punts sigui 1 és una espiral sinusoïdal. En aquest cas l'espiral sinusoïdal és una lemniscata polinòmica

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Espiral sinusoïdal Modifica l'enllaç a Wikidata

Referències[modifica | modifica el codi]