Espiral sinusoïdal

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Espiral sinusoidal amb n=2,5 (línia contínua) i amb n=-2,5 línia de punts.
Espiral sinusoidal amb n=0,5 (línia contínua) i amb n=-0,5 línia de punts.
Espiral sinusoidal amb n=3 (línia contínua) i amb n=-3 línia de punts.

En geometria, les espirals sinusoïdals són una família de corbes definides per l'equació en coordenades polars

r^n = a^n \cos(n \theta)\,

on a és una constant diferent de zero i n és un nombre racional diferent de 0. Amb una rotació entorn de l'origen, també es pot escriure

r^n = a^n \sin(n \theta).\,

El terme "espiral" és enganyós, perquè no són de fet espirals, i sovint tenen una forma similar a una flor. Moltes corbes conegudes són espirals sinusoïdals incloent-hi:

Aquestes corbes varen ser estudiades per primera vegada per Colin Maclaurin.

Equacions[modifica | modifica el codi]

Derivant

r^n = a^n \cos(n \theta)\,

i eliminant a s'obté una equació diferencial en r i θ:

\frac{dr}{d\theta}\cos n\theta + r\sin n\theta =0.

Llavors

\left(\frac{dr}{ds},\ r\frac{d\theta}{ds}\right)\cos n\theta \frac{ds}{d\theta}
= \left(-r\sin n\theta ,\ r \cos n\theta \right)
= r\left(-\sin n\theta ,\ \cos n\theta \right)

que implica que l'angle tangencial polar és

\psi = n\theta \pm \pi/2

i així l'angle tangencial és

\varphi = (n+1)\theta \pm \pi/2.

(Aquí el signe és positiu si r i \cos n\theta tenen el mateix signe i negatiu altrament.)

El vector unitari tangent

\left(\frac{dr}{ds},\ r\frac{d\theta}{ds}\right),

té longitud u, per tant comparant la magnitud dels vectors a cada costat de l'equació de dalt dóna

\frac{ds}{d\theta} = r \cos^{-1} n\theta = a \cos^{-1+\tfrac{1}{n}} n\theta.

En particular, la llargada d'un bucle únic quan n>0 és:

a\int_{-\tfrac{\pi}{2n}}^{\tfrac{\pi}{2n}} \cos^{-1+\tfrac{1}{n}} n\theta\ d\theta

La curvatura ve donada per

\frac{d\varphi}{ds} = (n+1)\frac{d\theta}{ds} = \frac{n+1}{a} \cos^{1-\tfrac{1}{n}} n\theta.

Propietats[modifica | modifica el codi]

La corba inversa d'una espiral sinusoïdal respecte a un circumferència amb centre a l'origen és una altra espiral sinusoïdal el valor de n de la qual és el negatiu del valor n de la corba original. Per exemple, la inversa de la lemniscata de Bernoulli és una hipèrbole.

L'isoptica, la podaria i la podaria negativa d'una espiral sinusoïdal són espirals sinusoïdals diferents.

El camí que segueix una partícula sotmesa a una força central proporcional a una potència de r és una espiral sinusoïdal.

Quan n és un enter, i es tracen n punts a intervals regulars sobre una circumferència de radi a, llavors el conjunt de punts tals que la mitjana geomètrica de les distàncies del punt fins als n punts sigui 1 és una espiral sinusoïdal. En aquest cas l'espiral sinusoïdal és una lemniscata polinòmica

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Espiral sinusoïdal Modifica l'enllaç a Wikidata

Referències[modifica | modifica el codi]