Estimació de màxima probabilitat a posteriori

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure
Estimació Bayes d'una probabilitat binomial: mode A-posteriori, mediana i mitjana

En l'estadística bayesiana, una estimació de màxima probabilitat a posteriori (amb acrònim anglès MAP) és una estimació d'una quantitat desconeguda, que és igual al mode de la distribució posterior. El MAP es pot utilitzar per obtenir una estimació puntual d'una quantitat no observada sobre la base de dades empíriques. Està estretament relacionat amb el mètode d'estimació de màxima versemblança (ML), però utilitza un objectiu d'optimització augmentat que incorpora una distribució prèvia (que quantifica la informació addicional disponible a través del coneixement previ d'un esdeveniment relacionat) sobre la quantitat que es vol estimar. Per tant, l'estimació MAP es pot veure com una regularització de l'estimació de màxima probabilitat.[1]

Suposem que volem estimar un paràmetre de població no observat sobre la base de les observacions . Deixar ser la distribució mostral de , i que és la probabilitat de quan el paràmetre de població subjacent és . Llavors la funció: [2]

es coneix com a funció de versemblança i estimació:

és l'estimació de la màxima probabilitat .

Ara suposem que una distribució prèvia acabat existeix. Això ens permet tractar com a variable aleatòria com en l'estadística bayesiana . Podem calcular la distribució posterior de utilitzant el teorema de Bayes: [3]

Exemple: [4]

Sigui X una variable aleatòria contínua amb funció de densitat:

també se suposa que , llavors cal trobar la MAP estimada de X sabent que Y=3

Solució:

se sap Y/X = x, per tant:

substituint Y=3: llavors cal maximitzar la funció:

derivant l'expressió anterior i igualant a zero resulta :

Referències[modifica]

  1. «Maximum A Posteriori (MAP) Estimation» (en anglès). https://www.probabilitycourse.com/.+[Consulta: 30 octubre 2022].
  2. Mao, Lei. «Maximum Likelihood Estimation VS Maximum A Posteriori Estimation» (en anglès). https://leimao.github.io,+02-07-2021.+[Consulta: 30 octubre 2022].
  3. «Maximum A Posteriori» (en anglès). https://web.stanford.edu.+[Consulta: 30 octubre 2022].
  4. «Maximum A Posteriori (MAP) Estimation» (en anglès). https://www.probabilitycourse.com.+[Consulta: 30 octubre 2022].