Exponencial integral

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca
No s'ha de confondre amb Integració ni amb Funció exponencial.
Gràfica de l'exponencial integral de
(funció )

En l'àmbit de les matemàtiques, l'exponencial integral és una funció especial definida en el pla complex i identificada amb el símbol .

La funció exponencial integral, , es defineix per:

Com la integral de divergeix en 0, aquesta definició ha de ser entesa en termes del valor principal de Cauchy.

L'algorisme de Risch mostra que no és una funció elemental.

La funció exponencial integral es pot desenvolupar en la sèrie:

(on γ és la constant d'Euler-Mascheroni).

Està connectada a una altra funció definida per:

Aquesta funció amplia l'exponencial integral als reals negatius donada la identitat:

Les dues funcions s'expressen en funció de la funció entera definida per:

i es pot escriure

o

Definicions[modifica]

Gràfica de la funció (a dalt) i de la funció (a baix)

Per a valors reals de , la funció exponencial integral, , es defineix com

Aquesta definició pot ser utilitzada per a valors positius de , però a causa de la singularitat de l'integrant en zero, la integral ha de ser interpretada en terme del valor principal de Cauchy. Per a valors complexos de l'argument, aquesta definició és ambigua a causa dels punts de ramificació en i en .[1] En general, es realitza un tall en l'eix real negatiu i pot ser definida mitjançant una continuació analítica a la resta del pla complex.

S'utilitza la següent notació,[1]

Per a valors positius de la part real de , això es pot expressar com[1]

El comportament de prop de la branca tallada pot ser analitzat mitjançant la següent relació:[1]

Propietats[modifica]

Les propietats de l'exponencial integral mostrades, a vegades, permeten sortejar l'avaluació explícita de la funció a partir de la definició donada a dalt.

Sèries convergents[modifica]

Després d'integrar la sèrie de Taylor de , i extreure la singularitat logarítmica, es pot obtenir la següent representació en forma de sèrie de per a real:[2]

Per arguments complexos fora de l'eix real, aquesta sèrie es generalitza en[3]

(on és la constant d'Euler-Mascheroni).

La suma convergeix per a tot complex, i prenem el valor usual del logaritme complex amb el tall de branca al llarg de l'eix real negatiu. Aquesta fórmula es pot utilitzar per calcular amb operacions de punt flotant per a real entre 0 i 2,5. Per , el resultat és inexacte i pot causar una cancel·lació numérica.

Ramanujan va trobar una sèrie convergent més ràpida:

Sèries asimptòtiques (divergents)[modifica]

Error relatiu de l'aproximació asimptòtica per a diferents valors del nombre en funció de la suma parcial : (vermell), (verd), (groc), (blau) i (rosa)

Per desgràcia, la convergència de les sèries mostrades a dalt és molt lenta per arguments amb gran mòdul. Per exemple, per , es necessiten més de 40 termes per obtenir una resposta correcta amb 3 xifres significatives.[4] No obstant això, hi ha una sèrie asimptòtica divergent que pot ser obtinguda a partir de la integració per parts de :[5]

on l'error és de l'ordre i és vàlid per a grans valors de .

L'error relatiu de la sèrie asimptòtica es mostra a la gràfica de la dreta per a diversos valors de ( en vermell, en rosa).

Comportament exponencial i logarítmic: Acotaments[modifica]

Acotament de per funcions elementals

De les sèries donades a dalt, es dedueix que es comporta com una exponencial negativa per a grans valors de l'argument i com un logaritme per a petits valors del mateix. Per a valors reals positius de l'argument, queda acotada superior i inferiorment per les funcions elementals:[3]

La part esquerra de la desigualtat es mostra a la gràfica de la dreta en blau, la part central, que és , és la corba negra i la part de la dreta és la corba vermella.

Definició mitjançant [modifica]

Les funcions i poden ser escrites de forma més simple mitjançant la funció entera ,[1] definida com:

(cal notar que aquesta és la sèrie alternada que apareixia en la definició de . Se segueix immediatament que:

Relació amb altres funcions[modifica]

La integral exponencial està estretament relacionada amb la funció logaritme integral, definida com:

per a tot real positiu més gran d'.


L'equació de Kummer

en general es resol mitjançant les funcions hipergeomètriques confluents i Però quan i llavors

tenim

per a tot . Una segona solució ve donada llavors per . De fet,

amb la derivada avaluada en Una altra relació amb les funcions hipergeométriques confluents és que és una funció de temps exponencial :

L'exponencial integral també pot ser generalitzada a

que es pot escriure com un cas especial de la funció gamma incompleta:[6]

Per obtenir més informació sobre les propietats d'aquesta funció, consulteu l'article més extens sobre la funció gamma incompleta. La forma generalitzada a vegades es diu la funció Misra ,[7] definida com:

Incloent un logaritme es defineix la funció integral exponencial generalitzada[8]

.

La integral indefinida:

és similar en forma a la funció generatriu ordinària per , el nombre de divisors de :

Derivades[modifica]

Les derivades de les funcions es poden obtenir mitjançant l'ús de la fórmula[6]

Vegeu que la funció és senzilla d'avaluar (donant un terme inicial a la relació recursiva), ja que és .[3]

Exponencial integral d'un argument imaginari[modifica]

respecte a ; part real en negre, part imaginària en vermell

Si és imaginari i la funció té una part real no nul·la, podem fer servir la fórmula

per obtenir una relació de l'exponencial integral amb les integrals trigonomètriques i :

Les parts real i imaginària de estan dibuixades en la gràfica de la dreta, en negre i vermell respectivament.

Aproximacions[modifica]

Hi ha un nombre d'aproximacions per a la funció exponencial integral. Aquestes inclouen:

Aproximació de Swamee i Ohija[modifica]

,

on , i [9]

Aproximació d'Allen i Hastings[modifica]

on , , , i .[9][10]

Expansió en fracció contínua[modifica]

Vegeu també: Fracció contínua

[10]

Aproximació de Barry, Parlange i Lee[modifica]

on , , ,[11] on és la constant d'Euler–Mascheroni.

Per a valors de entre 0 i 2,5[modifica]

Sigui:

La suma convergeix per a tot real positiu, però amb operacions de punt flotant, el resultat és incorrecte per , a causa de la pèrdua de precisió en relació al restar el nombre d'ordres de diferents magnituds.

Per valors de > 40[modifica]

Existeix una sèrie divergent que permet d'apropar per a valors grans de obtinguts mitjançant la integració per parts,[12] el que dóna la següent expansió asimptòtica:

Per tal de tenir una precisió de 64 bits (doble precisió), s'utilitza el valor .

Aplicacions[modifica]

Referències[modifica]

Bibliografia[modifica]

  • Abramowitz, Milton; Stegun, Irene. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (en anglès). New York: Dover, 1964. ISBN 0-486-61272-4. 
  • Allan J, MacLeod. The efficient computation of some generalised exponential integrals (en anglès). J. Comput. Appl. Math. (vol. 148), 2002. DOI 10.1016/S0377-0427(02)00556-3. 
  • Barry, D. A; Parlange, J; Li, L. Approximation for the exponential integral (Theis well function) (en anglès). Journal of Hydrology (vol. 227), 2000. DOI 10.1016/S0022-1694(99)00184-5. 
  • Bell, George I; Glasstone, Samuel. Nuclear Reactor Theory (en anglès). Van Nostrand Reinhold Company, 1970. 
  • Bender, Carl M; Orszag, Steven A. Advanced mathematical methods for scientists and engineers (en anglès). McGraw–Hill, 1978. ISBN 0-07-004452-X. 
  • Bleistein, Norman; Handelsman, Richard A. Asymptotic Expansions of Integrals (en anglès). Dover, 1986. ISBN 0-486-65082-0. 
  • Busbridge, Ida W. On the integro-exponential function and the evaluation of some integrals involving it (vol. 1) (en anglès). Oxford: Quart. J. Math., 1950. DOI 10.1093/qmath/1.1.176. 
  • Chiccoli, C; Lorenzutta, S; Maino, G. On the evaluation of generalized exponential integrals Eν(x) (en anglès). J. Comput. Phys. (vol. 78), 1988. DOI 10.1016/0021-9991(88)90050-2. 
  • Chiccoli, C; Lorenzutta, S; G, Maino. Recent results for generalized exponential integrals (en anglès). Computer Math. Applic. (vol. 19), 1990. DOI 10.1016/0898-1221(90)90098-5. 
  • Giao, Pham Huy. Revisit of Well Function Approximation and An Easy Graphical Curve Matching Technique for Theis' Solution». Ground Water, vol. 41, 3 (en anglès), 2003. DOI 10.1111/j.1745-6584.2003.tb02608.x. 
  • Milgram, M. S. The generalized integro-exponential function (en anglès). Mathematics of Computation (vol. 44), 1985. DOI 10.1090/S0025-5718-1985-0777276-4. , jstor 2007964, mr 0777276
  • Misra, Rama Dhar; Born, M. On the Stability of Crystal Lattices. II (en anglès). Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society (vol. 2), 1940. DOI 10.1017/S030500410001714X. 
  • Press, W.H; Teukolsky, S.A; Vetterling, W.T; Flannery, B.P. Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (en anglès), 2007. ISBN 978-0-521-88068-8. 
  • Sharma, R. R; Zohuri, Bahman. A general method for an accurate evaluation of exponential integrals E1(x), x>0 (en anglès). J. Comput. Phys. (vol. 25), 1977. DOI 10.1016/0021-9991(77)90022-5. 
  • Stankiewicz, A. Tables of the integro-exponential functions (en anglès). Acta Astronomica (vol. 18), 1968. 
  • Tseng, Peng-Hsiang; Lee, Tien-Chang. Numerical evaluation of exponential integral: Theis well function approximation (en anglès). Journal of Hydrology (vol. 205), 1998. DOI 10.1016/S0022-1694(97)00134-0. 

Vegeu també[modifica]

Enllaços externs[modifica]