Extensió algebraica

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En àlgebra abstracta, una extensió de cossos L/K es diu algebraica si cada element de L és algebraic sobre K, i.e. si cada element de L és una arrel d'algun polinomi distint de zero amb coeficients en K. Les extensions de cossos que no són algebraiques, i.e. que contenen elements transcendents, són dites transcendents.

Per exemple, l'extensió de cossos R/Q és transcendent, mentre que les extensions de cossos C/R i Q(√2)/Q són algebraiques.

Si pensem en L com un espai vectorial sobre K, podem considerar la seua dimensió. Aquesta dimensió és també dita el grau de l'extensió. Així, l'extensió L/K pot ser classificada a més com extensió finita o infinita d'acord amb aquesta dimensió. Totes les extensions transcendents són de grau infinit. Açò a més implica que totes les extensions finites són algebraiques.

No obstant això, el contrari no és cert: existeixen extensions infinites que són a més algebraiques. Per exemple, el cos de tots els nombres algebraics és una extensió infinita algebraica dels nombres racionals.

Si a és algebraic sobre K, llavors K[a], el conjunt de tots els polinomis en a amb coeficients en K, és un cos. És una extensió de cossos algebraica de K que té grau finit sobre K. En el cas especial de que K=Q, Q[a] és un exemple de cos de nombres algebraics.

Un cos sense extensions algebraiques pròpies és dit algebraicament tancat. Un exemple és el dels nombres complexos.

Cada cos té una extensió algebraica que és algebraicament tancada (que es denomina la seua clausura algebraica), però el provar açò en general, requereix certa forma de l'axioma de l'elecció.

Generalitzacions[modifica | modifica el codi]

La teoria de models generalitza la noció d'extensió algebraica a teories arbitràries: un embedding de M en N se li diu extensió algebraica si per a cada x en N existeix una condició p amb paràmetres en M, tal que p(x) és certa i el conjunte

{y in N | p(y)}

és finit. Ocorre que aplicant aquesta definició a la teoria de cossos tenim la definició usual d'extensió algebraica. El Grup de Galois de N sobre M pot ser de nou definit com el grup d'automorfismes, i gran part de la teoria de grups de Galois pugues ser desenvolupada per al cas general.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]