Extensió d'Alexandroff

De Viquipèdia
Jump to navigation Jump to search

En el camp matemàtic de la topologia, l'extensió d'Alexandroff és una forma d'estendre un espai topològic no compacte mitjançant l'addició d'un sol punt, donant com a resultat un espai compacte. Aquest concepte rep el nom del matemàtic rus Pàvel Alexàndrov.

Més en concret, sigui X un espai topològic. Es defineix l'extensió d'Alexandroff de X com un cert espai compacte X* juntament amb un embedding obert c : X → X* tal que el complement de X dins X* consisteix d'un sol punt, denotat habitualment per ∞. L'aplicació c és una compactificació Hausdorff si i només si X és un espai de Hausdorff no compacte, però localment compacte. Per a aquest tipus d'espais, hom diu que l'extensió d'Alexandroff és la compactificació d'Alexandroff o la compactificació d'un punt. Els avantatges de la compactificació d'Alexandroff rauen en la seva estructura simple i, sovint, geomètricament significativa, i en el fet que és la mínima compactificació entre totes les possibles; per altra banda, el desavantatge és que només proporciona una compactificació Hausdorff sobre la classe d'espais Hausdorff no compactes i alhora localment compactes, al contrari que la compactificació de Stone-Čech, que existeix per a qualsevol espai de Tychonoff, una classe molt més àmplia d'espais.

Exemple: projecció estereogràfica inversa[modifica]

Projecció estereogràfica

Un exemple geomètric de la compactificació d'Alexandroff ve donat per la projecció estereogràfica inversa. Recodem que la projecció estereogràfica S proporciona un homeomorfisme explícit des de l'esfera unitat menys el pol nord (0,0,1) sobre el pla euclidià. La projecció estereogràfica inversa és un embedding dens i obert dins d'un espai Hausdorff compacte, que s'obté mitjançant l'addició del punt addicional . Aplicant la projecció estereogràfica, els cercles latitudinals s'envien a circumferències planars . D'aquí, es té que la base d'entorns perforats de donada pels casquets esfèrics perforats correspon als complements dels discs planars tancats . Des d'un punt de vista qualitatiu, una base d'entorns al punt ve donada pels conjunts , on K recorre els subconjunts compactes de . Aquest exemple, encara que és un cas particular, conté els conceptes clau per al cas general.

Motivació[modifica]

Sigui un embedding d'un espai topològic X dintre d'un espai topològic Hausdorff compacte Y, amb imatge densa i un residu compost per un sol punt . Llavors c(X) és un conjunt obert dins d'un espai Hausdorff compacte, i per tant és localment compacte Hausdorff; d'on la seva imatge homeomorfa X també és localment compacta Hausdorff. Addicionalment, si X fos compacte, llavors c(X) seria tancat a Y, i per tant no seria dens. Així, un espai només pot admetre una compactificació d'Alexandroff si és localment compacte, no compacte, i Hausdorff. Encara més, en una tal compactificació d'Alexandroff, la imatge d'una base d'entorns de x a X proporciona una base d'entorns per de c(x) dins c(X), i –com que un subconjunt d'un espai Hausdorff compacte és compacte si i només si és tancat– els entorns oberts de han de ser tots conjunts obtinguts per adjunció de a la imatge per c d'un subconjunt de X amb complement compacte.

L'extensió d'Alexandroff[modifica]

Sigui X un espai topològic qualsevol, i sigui qualsevol objecte que no sigui un element de X. Escrivim , i fixem una topologia a on els conjunts oberts siguin tots els subconjunts oberts U de X juntament amb tots els subconjunts V que contenen i tals que és tancat i compacte (Kelley 1975, p. 150).

Hom diu que la inclusió és l'extensió d'Alexandroff de X (Willard 1970, 19A).

Hom pot observar les següents propietats:

  • L'aplicació c és contínua i oberta: submergeix X com a subconjunt obert de .
  • L'espai és compacte.
  • La imatge c(X) és densa a , si X no és compacte.
  • L'espai és Hausdorff si i només si X és Hausdorff i localment compacte.

La compactificació d'Alexandroff (o d'un punt)[modifica]

En particular, l'extensió d'Alexandroff és una compactificació de X si i només si X és Hausdorff, no compacte i localment compacte. En aquest cas, hom l'anomena compactificació d'Alexandroff o compactificació d'un punt de X. Recordem pel que hem vist abans que qualsevol compactificació amb un residu format per un punt és necessàriament (isomorfa a) la compactificació d'Alexandroff.

Sigui X un espai de Tychonoff qualsevol. Amb l'ordre parcial natural definit sobre el conjunt de classes d'equivalència de compactificacions, qualsevol element mínim és equivalent a l'extensió d'Alexandroff (Engelking 1989, Teorema 3.5.12). Una conseqüència és que un espau no compacte de Tychonoff admet una compactificació mínima si i només si és localment compacte.

Exemples addicionals[modifica]

  • La compactificació d'Alexandroff del conjunt d'enters positius és homeomorfa a l'espai K = {0} U {1/n | n és un enter positiu} amb la topologia de l'ordre.
  • La compactificació d'Alexandroff de l'espai euclidià n-dimensioanl Rn és homeomorfa a la n-esfera Sn. Com abans, l'aplicació es pot construir de forma explícita con una projecció estereogràfica inversa n-dimensional.
  • Com que la clausura d'un subconjunt connex és connexa, l'extensió d'Alexandroff d'un espai connex no compacte és connexa. Tot i això, la compactificació d'Alexandroff pot fer que un espai no connex esdevingui connex: per exemple, la compactificació d'Alexandroff de la unió disjunta de còpies de l'interval (0,1) rosa de circumferències ((anglès) Bouquet of circles).
  • Hom pot interpretar l'extensió d'Alexandroff com un functor des de la categoria d'espais topològics amb aplicacions contínues pròpies com a morfismes, cap a la categoria els objectes de la qual són aplicacions contínues i per a la qual els morfismes de a són parells d'aplicacions contínues tals que . En particular, els espais homeomorfs tenen extensions d'Alexandroff isomorfes.
  • Una successió en un espai topològic convergeix cap a un punt de , si i només si l'aplicació donada per amb de i és contínua. Aquí, té la topologia discreta.
  • Els espais poliàdics estan definits com a espais topològics que són la imatge contínua de la potència d'una compactificació d'Alexandroff d'un espai Hausdorff discret i localment compacte.
  • L'espai de funcions contínues sobre un espai Hausdorff localment compacte és localment compacte, però es pot fer compacte si i només si s'hi inclou el punt per a tot .

Bibliografia[modifica]

Vegeu també[modifica]