Extensió de Galois

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure

En matemàtiques, en àlgebra abstracta, una extensió de Galois és una extensió de cos algebraica que és normal i separable;[1] o de manera equivalent, és algebraica i el camp fixat pel grup d'automorfismes és precisament el cos base .

La importància de ser una extensió de Galois és que l'extensió té un grup de Galois i obeeix al teorema fonamental de la teoria de Galois.[a]

Un resultat de Emil Artin permet construir extensions de Galois de la següent manera: si és un cos donat, i G és un grup finit d'automorfismes de amb camp fix , llavors és una extensió de Galois.[2]

Caracterització de les extensions de Galois[modifica]

Un teorema important d'Emil Artin afirma que per a una extensió finita cadascuna de les afirmacions següents és equivalent a l'enunciat que és Galois:

Altres declaracions equivalents són:

  • Tots els polinomis irreductibles a amb almenys una arrel a es divideixen en i són separables.
  • és a dir, el nombre d'automorfismes és almenys el grau d'extensió.
  • és el cos fix d'un subgrup de
  • és el cos fix de
  • Hi ha un correspondència un a un entre subcossos de i subgrups de

Exemples[modifica]

Hi ha dues maneres bàsiques de construir exemples d'extensions de Galois.

  • Agafeu qualsevol cos , qualsevol subgrup de , i deixeu que sigui el cos fix.
  • Agafeu qualsevol cos , qualsevol polinomi separable a , i deixeu que sigui el seu cos de descomposició.

Afegint al cos de nombres racionals l'arrel quadrada de 2 dóna una extensió de Galois, mentre que afegintr l'arrel cúbica de 2 dóna una extensió que no és Galois. Aquestes dues extensions són separables, perquè tenen característica zero. El primer d'ells és el cos de divisió de ; el segon té tancament normal que inclou el complex arrel cúbica d'unitat, i per tant no és un cos de descomposició. De fet, no té cap automorfisme més que la identitat, perquè està contingut en els nombres reals i només té una arrel real.

Per a exemples més detallats, vegeu el teorema fonamental de la teoria de Galois.

Una cloenda algebraica d'un cos arbitrari és Galois sobre si i només si és un cos perfecte.

Notes[modifica]

  1. Vegeu en l'article Grup de Galois per a les definicions d'alguns d'aquests termes i exemples.

Referències[modifica]

  1. Lang, 2002, p. 262.
  2. Lang, 2002, p. 264 (teorema 1.8).

Bibliografia[modifica]

Enllaços externs[modifica]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Extensió de Galois