Extensió de cossos

De Viquipèdia
Jump to navigation Jump to search

En àlgebra, les extensions de cos són el problema fonamental de la teoria de cossos. Un cos és un conjunt en el qual les operacions suma i producte estan definides i "funcionen bé". Un dels motius de construir una extensió d'un cos és el de cercar un conjunt més gran en el qual les operacions suma i producte seguisquen funcionant bé i a més es puguen resoldre equacions polinòmiques que no es poden resoldre en el cos original.

Definició[modifica]

Siga (K, +, ·) un cos. Un cos L és una extensió de K si K és un subcòs de L, és a dir si (L,+,·) és un cos i (K,+,·) és un cos amb la restricció a K de les operacions + i · en L. Si L és extensió sobre K es denota L:K o L/K.

Extensió sobre un cos com espai vectorial sobre el cos[modifica]

En efecte, l'addició de K serveix també d'addició en l'espai vectorial, i la multiplicació d'un element de K per un de L defineix el producte escalar de l'espai vectorial:

Per definició de cos, és grup abelià, i podem considerar el producte per escalars   com una restricció a del producte en  . D'esta manera és immediat que es compleix que:

  • ,
  • ,
  • ,
  • ,

qualssevol que siguen i . Les dues primeres propietats són degudes a la distributivitat del producte respecte de la suma en i al fet que ; la tercera es deu al fet que el producte és associatiu en , i la quarta es deu al fet que és subcòs de , per la qual cosa l'element unitat de és l'element unitat de .

Extensió simple[modifica]

Article principal: Extensió simple

El conjunt . Este conjunt és un cos, és extensió de , és subcòs de , i de fet és la menor extensió de que conté a . Se li denomina extensió generada per α sobre .

Extensions algebraiques i transcendents[modifica]

Teorema de Kronecker[modifica]

Siga un cos i un polinomi irreduible, llavors existeix alguna extensió de manera que té alguna arrel en .

Homomorfisme avaluació[modifica]

L'aplicació que a cada polinomi li fa correspondre la seua avaluació en , i.e., . Esta aplicació és de fet un isomorfisme d'anells commutatius i unitaris, i se denomina homomorfisme avaluació.

Extensió algebraica[modifica]

Article principal: Extensió algebraica

Una extensió se diu que és algebraica si tot element és algebraic sobre .

Elements algebraics[modifica]

Article principal: Element algebraic

Suposem que existeix algun polinomi que té a per arrel.

En esta situació (, o equivalentement, existeix algun irreduible con ) se diu que és algebraic sobre .

Un element és llavors algebraic sobre un cos si i només si és arrel d'algun polinomi a coeficients en aquest cos.

Polinomi mònic irreduible[modifica]

Si és un element algebraic sobre el cos de manera que , el polinomi que genera al nucli de l'aplicació avaluació (i.e., ) és irreduible. Dividint pel seu coeficient principal (aquell escalar que multiplica a la major potencia de la variable ) s'obté un polinomi mònic (és a dir, de manera que el seu coeficient principal es la unitat), que se denota per i se denomina polinomi mònic irreduible de respecte de .

Clarament, .

Extensió transcendent[modifica]

Article principal: Extensió transcendent

Una extensió se diu que és transcendent si existeix algun element que siga transcendent sobre .

Elements transcendents[modifica]

Article principal: Element transcendent

Si el Ker, serà un monomorfisme. En eixe cas, és isomorf a .

Se dirà que l'element és transcendent sobre i que és una extensió transcendent sobre . A més, no existirà cap polinomi amb coeficients en que tinga per arrel a (és a dir, si , llavors ).

Grau d'una extensió[modifica]

Article principal: Grau d'una extensió

Com que tot espai vectorial té base, podem calcular la dimensió de com espai vectorial sobre , denotat per . Es denomina grau de l'extensió a la dimensió de com -espai vectorial: .

Prenguem diversos exemples:

K = Q el cos dels racionals i L = R el dels reals; Les arrels dels enters primers (√2, √3, √5, √7,...) són linealment independents sobre Q, el que implica que R vist com a espai vectorial sobre Q, és de dimensió infinita.
Altra manera d'obtenir este resultat és considerar els nombres e, e²,e³... on el nombre e és la base dels logaritmes neperians. Com que e és transcendent, no existeix cap polinomi no nul P tal que P(e) = 0, cosa que significa que 1, e, e², e³ ... són linealment independents. D'ací la dimensió infinita.

El resultat no sorprèn si es considera els cardinals d'ambdós conjunts: si la dimensió de R sobre Q fóra finita, R seria isomorf a Qn, el que no és possible perquè el cardinal de Qn és el mateix que el de Q (igual al de N, aleph0) que és estrictament inferior al de R.

K = Q, el cos del racionals i L = Q(√2), el menor cos que conté al mateix temps Q i √2. L és també el conjunt dels P(√2), on P és qualsevol polinomi amb coeficients en Q.
Reagrupant els monomis de potències pares per una part, i imparell per altra, de P(√2), se veu que els elements de Q(√2) són els nombres de la forma a+b√2, amb a i b racionals. Per tant (1, √2) és una base de L vist com a espai vectorial sobre K, el que significa que la seua dimensió és 2.
S'ha de relacionar esta dimensió al fet que √2 és arrel d'un polinomi de segon grau.

Se pot generalitzar:

Si α és una arrel d'un polinomi irreductible (sobre Q) de grau n, aleshores Q(α) és una extensió de dimensió n sobre Q.