Extensió de cossos

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En àlgebra, les extensions de cos són el problema fonamental de la teoria de cossos. Un cos és un conjunt en el qual les operacions suma i producte estan definides i "funcionen bé". Un dels motius de construir una extensió d'un cos és el de cercar un conjunt més gran en el qual les operacions suma i producte seguisquen funcionant bé i a més es puguen resoldre equacions polinòmiques que no es poden resoldre en el cos original.

Definició[modifica | modifica el codi]

Siga (K, +, ·) un cos. Un cos L és una extensió de K si K és un subcòs de L, és a dir si (L,+,·) és un cos i (K,+,·) és un cos amb la restricció a K de les operacions + i · en L. Si L és extensió sobre K es denota L:K o L/K...

Extensió sobre un cos com espai vectorial sobre el cos[modifica | modifica el codi]

En efecte, l'addició de K serveix també d'addició en l'espai vectorial, i la multiplicació d'un element de K per un de L defineix el producte escalar de l'espai vectorial:

Per definició de cos, és grup abelià, i podem considerar el producte per escalars   com una restricció a del producte en  . D'esta manera és immediat que es compleix que:

  • ,
  • ,
  • ,
  • ,

qualssevol que siguen i . Les dues primeres propietats són degudes a la distributivitat del producte respecte de la suma en i a que , la tercera es deu al fet que el producte és associatiu en , i la quarta se deu a que és subcòs de , per la qual cosa l'element unitat de és l'element unitat de .

Extensió simple[modifica | modifica el codi]

Article principal: Extensió simple

El conjunt . Este conjunt és un cos, és extensió de , és subcòs de , i de fet és la menor extensió de que conté a . Se li denomina extensió generada per α sobre .

Extensions algebraiques i transcendents[modifica | modifica el codi]

Teorema de Kronecker[modifica | modifica el codi]

Siga un cos i un polinomi irreduible, llavors existeix alguna extensió de manera que té alguna arrel en .

Homomorfisme avaluació[modifica | modifica el codi]

L'aplicació que a cada polinomi li fa correspondre la seua avaluació en , i.e., . Esta aplicació és de fet un isomorfisme d'anells commutatius i unitaris, i se denomina homomorfisme avaluació.

Extensió algebraica[modifica | modifica el codi]

Article principal: Extensió algebraica

Una extensió se diu que és algebraica si tot element és algebraic sobre .

Elements algebraics[modifica | modifica el codi]

Article principal: Element algebraic

Suposem que existeix algun polinomi que té a per arrel.

En esta situació (, o equivalentement, existeix algun irreduible con ) se diu que és algebraic sobre .

Un element és llavors algebraic sobre un cos si i només si és arrel d'algun polinomi a coeficients en aquest cos.

Polinomi mònic irreduible[modifica | modifica el codi]

Si és un element algebraic sobre el cos de manera que , el polinomi que genera al nucli de l'aplicació avaluació (i.e., ) és irreduible. Dividint pel seu coeficient principal (aquell escalar que multiplica a la major potencia de la variable ) s'obté un polinomi mònic (és a dir, de manera que el seu coeficient principal es la unitat), que se denota per i se denomina polinomi mònic irreduible de respecte de .

Clarament, .

Extensió transcendent[modifica | modifica el codi]

Article principal: Extensió transcendent

Una extensió se diu que és transcendent si existeix algun element que siga transcendent sobre .

Elements transcendents[modifica | modifica el codi]

Article principal: Element transcendent

Si el Ker, serà un monomorfisme. En eixe cas, és isomorf a .

Se dirà que l'element és transcendent sobre i que és una extensió transcendent sobre . A més, no existirà cap polinomi amb coeficients en que tinga pe arrrel a (és a dir, si , llavors ).

Grau d'una extensió[modifica | modifica el codi]

Article principal: Grau d'una extensió

Com que tot espai vectorial té base, podem calcular la dimensió de com espai vectorial sobre , denotat per . Es denomina grau de l'extensió a la dimensió de com -espai vectorial: .

Prenguem diversos exemples:

K = Q el cos dels racionals i L = R el dels reals; Les arrels dels enters primers (√2, √3, √5, √7,...) són linealment independents sobre Q, el que implica que R vist com a espai vectorial sobre Q, és de dimensió infinita.
Altra manera d'obtenir este resultat és considerar els nombres e, e²,e³... on el nombre e és la base dels logaritmes neperians. Com que e és transcendent, no existeix cap polinomi no nul P tal que P(e) = 0, cosa que significa que 1, e, e², e³ ... són linealment independents. D'ací la dimensió infinita.

El resultat no sorprèn si es considera els cardinals d'ambdós conjunts: si la dimensió de R sobre Q fóra finita, R seria isomorf a Qn, el que no és possible perquè el cardinal de Qn és el mateix que el de Q (igual al de N, aleph0) que és estrictament inferior al de R.

K = Q, el cos del racionals i L = Q(√2), el menor cos que conté al mateix temps Q i √2. L és també el conjunt dels P(√2), on P és qualsevol polinomi amb coeficients en Q.
Reagrupant els monomis de potències pares per una part, i imparell per altra, de P(√2), se veu que els elements de Q(√2) són els nombres de la forma a+b√2, amb a i b racionals. Per tant (1, √2) és una base de L vist com a espai vectorial sobre K, el que significa que la seua dimensió és 2.
S'ha de relacionar esta dimensió al fet que √2 és arrel d'un polinomi de segon grau.

Se pot generalitzar:

Si α és una arrel d'un polinomi irreductible (sobre Q) de grau n, aleshores Q(α) és una extensió de dimensió n sobre Q.