Extensió de cossos
![]() |
Aquest article o secció no cita les fonts o necessita més referències per a la seva verificabilitat. |
En àlgebra, les extensions de cos són el problema fonamental de la teoria de cossos. Un cos és un conjunt en el qual les operacions suma i producte estan definides i "funcionen bé". Un dels motius de construir una extensió d'un cos és el de cercar un conjunt més gran en el qual les operacions suma i producte seguisquen funcionant bé i a més es puguen resoldre equacions polinòmiques que no es poden resoldre en el cos original.
Definició[modifica]
Siga (K, +, ·) un cos. Un cos L és una extensió de K si K és un subcos de L, és a dir si (L,+,·) és un cos i (K,+,·) és un cos amb la restricció a K de les operacions + i · en L. Si L és extensió sobre K es denota L:K o L/K.
Extensió sobre un cos com espai vectorial sobre el cos[modifica]
- Si L és una extensió de K, llavors L és un espai vectorial sobre K.
En efecte, l'addició de K serveix també d'addició en l'espai vectorial, i la multiplicació d'un element de K per un de L defineix el producte escalar de l'espai vectorial:
Per definició de cos, és grup abelià, i podem considerar el producte per escalars com una restricció a del producte en . D'esta manera és immediat que es compleix que:
- ,
- ,
- ,
- ,
qualssevol que siguen i . Les dues primeres propietats són degudes a la distributivitat del producte respecte de la suma en i al fet que ; la tercera es deu al fet que el producte és associatiu en , i la quarta es deu al fet que és subcòs de , per la qual cosa l'element unitat de és l'element unitat de .
Extensió simple[modifica]
El conjunt . Este conjunt és un cos, és extensió de , és subcòs de , i de fet és la menor extensió de que conté a . Se li denomina extensió generada per α sobre .
Extensions algebraiques i transcendents[modifica]
Teorema de Kronecker[modifica]
Siga un cos i un polinomi irreduible, llavors existeix alguna extensió de manera que té alguna arrel en .
Homomorfisme avaluació[modifica]
L'aplicació que a cada polinomi li fa correspondre la seua avaluació en , i.e., . Esta aplicació és de fet un isomorfisme d'anells commutatius i unitaris, i se denomina homomorfisme avaluació.
Extensió algebraica[modifica]
Una extensió se diu que és algebraica si tot element és algebraic sobre .
Elements algebraics[modifica]
Suposem que existeix algun polinomi que té a per arrel.
En esta situació (, o equivalentement, existeix algun irreduible con ) se diu que és algebraic sobre .
Un element és llavors algebraic sobre un cos si i només si és arrel d'algun polinomi a coeficients en aquest cos.
Polinomi mònic irreduible[modifica]
Si és un element algebraic sobre el cos de manera que , el polinomi que genera al nucli de l'aplicació avaluació (i.e., ) és irreduible. Dividint pel seu coeficient principal (aquell escalar que multiplica a la major potencia de la variable ) s'obté un polinomi mònic (és a dir, de manera que el seu coeficient principal es la unitat), que se denota per i se denomina polinomi mònic irreduible de respecte de .
Clarament, .
Extensió transcendent[modifica]
Una extensió se diu que és transcendent si existeix algun element que siga transcendent sobre .
Elements transcendents[modifica]
Si el Ker, serà un monomorfisme. En eixe cas, és isomorf a .
Se dirà que l'element és transcendent sobre i que és una extensió transcendent sobre . A més, no existirà cap polinomi amb coeficients en que tinga per arrel a (és a dir, si , llavors ).
Grau d'una extensió[modifica]
Com que tot espai vectorial té base, podem calcular la dimensió de com espai vectorial sobre , denotat per . Es denomina grau de l'extensió a la dimensió de com -espai vectorial: .
Prenguem diversos exemples:
K = Q el cos dels racionals i L = R el dels reals;
Les arrels dels enters primers (√2, √3, √5, √7…) són linealment independents sobre Q, el que implica que R vist com a espai vectorial sobre Q, és de dimensió infinita.
Altra manera d'obtenir este resultat és considerar els nombres e, e²,e³... on el nombre e és la base dels logaritmes neperians. Com que e és transcendent, no existeix cap polinomi no nul P tal que P(e) = 0, cosa que significa que 1, e, e², e³ ... són linealment independents. D'ací la dimensió infinita.
El resultat no sorprèn si es considera els cardinals d'ambdós conjunts: si la dimensió de R sobre Q fóra finita, R seria isomorf a Qn, el que no és possible perquè el cardinal de Qn és el mateix que el de Q (igual al de N, aleph0) que és estrictament inferior al de R.
K = Q, el cos del racionals i L = Q(√2), el menor cos que conté al mateix temps Q i √2. L és també el conjunt dels P(√2), on P és qualsevol polinomi amb coeficients en Q.
Reagrupant els monomis de potències pares per una part, i imparell per altra, de P(√2), se veu que els elements de Q(√2) són els nombres de la forma a+b√2, amb a i b racionals.
Per tant (1, √2) és una base de L vist com a espai vectorial sobre K, el que significa que la seua dimensió és 2.
S'ha de relacionar esta dimensió al fet que √2 és arrel d'un polinomi de segon grau.
Se pot generalitzar:
Si α és una arrel d'un polinomi irreductible (sobre Q) de grau n, aleshores Q(α) és una extensió de dimensió n sobre Q.