Fórmula de la integral de Cauchy

Aquesta fórmula, deguda a Augustin Louis Cauchy, és part fonamental del càlcul integral de variable complexa.

Enunciat 1

Sigui f(z) una funció analítica en un domini simplement connex D. Llavors, per qualsevol punt $z_{0}\,$$z_{0}\,$ contingut en l'interior de D i per qualsevol camí C tancat simple que contingui el punt es té:

$\oint _{C}{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}dz=2\pi i\cdot f(z_{0})$$\oint _{C}{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}dz=2\pi i\cdot f(z_{0})$

$k=n+1.kordrepolodevalorz=z_{0}$$k=n+1.kordrepolodevalorz=z_{0}$

on la integració està agafada amb sentit antihorari.

Enunciat 2

Sigui $f\,$$f\,$ una funció holomorfa (funció analítica) sobre $\gamma$$\gamma$, $\gamma$$\gamma$ un camí (una corba diferenciable amb continuïtat a trossos) tancat i $z_{0}\in \gamma$$z_{0}\in \gamma$

$f(z_{0})={\frac {1}{2\pi i\cdot I_{\gamma }(z_{0})}}\int _{\gamma }{\frac {f(\omega )}{\omega -z_{0}}}d\omega$$f(z_{0})={\frac {1}{2\pi i\cdot I_{\gamma }(z_{0})}}\int _{\gamma }{\frac {f(\omega )}{\omega -z_{0}}}d\omega$

Essent $z_{0}\,$$z_{0}\,$ un punt, $I_{\gamma }(z_{0})\,$$I_{\gamma }(z_{0})\,$ l'índex del punt respecte a la corba (el nombre de vegades que la corba rodeja el punt tenint en compte el sentit en què ho fa).

Vegeu també

• Teorema de la integral de Cauchy