Fórmula de la integral de Cauchy

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Aquesta fórmula, deguda a Augustin Louis Cauchy, és part fonamental del càlcul integral de variable complexa.

Enunciat 1[modifica | modifica el codi]

Sigui f(z) una funció analítica en un domini simplement connex D. Llavors, per qualsevol punt z_0 \, contingut en l'interior de D i per qualsevol camí C tancat simple que contingui el punt es té:

\oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}dz=2\pi i\cdot f(z_0)

k=n+1. k ordre polo de valor z=z_0

on la integració està agafada amb sentit antihorari.

Enunciat 2[modifica | modifica el codi]

Sigui f \, una funció holomorfa (funció analítica) sobre \gamma, \gamma un camí (una corba diferenciable amb continuïtat a trossos) tancat i z_0\in \gamma

f(z_0) = \frac{1}{2 \pi i \cdot I_\gamma(z_0)} \int_{\gamma}\frac{f(\omega)}{\omega-z_0} d\omega

Essent z_0 \, un punt, I_\gamma(z_0) \, l'índex del punt respecte a la corba (el nombre de vegades que la corba rodeja el punt tenint en compte el sentit en què ho fa).

Vegeu també[modifica | modifica el codi]