Ferdinand Georg Frobenius

Ferdinand Georg Frobenius

Biografia
Naixement	26 octubre 1849 Charlottenburg (Regne de Prússia)
Mort	3 agost 1917 (67 anys) Berlín (Regne de Prússia)
Formació	Universitat Frederic Guillem de Berlín - Philosophiæ doctor (1868–1870) Universitat de Göttingen (1867–1868) Joachimsthalsches Gymnasium (1860–1867)
Tesi acadèmica	De functionum analyticarum unius variabilis per series infinitas repraesentatione  (1870 )
Director de tesi	Ernst Kummer i Karl Weierstrass
Activitat
Camp de treball	Àlgebra, teoria de grups i topologia
Ocupació	matemàtic, professor universitari
Ocupador	Universitat Frederic Guillem de Berlín (1892–1917) ETH Zürich (1875–1892) Universitat Frederic Guillem de Berlín (1874–1875) Sophie Oberschule (1872–1874) Joachimsthalsches Gymnasium (1870–1872)
Membre de	Acadèmia Prussiana de les Ciències (1892–) Acadèmia Alemanya de Ciències Leopoldina Acadèmia de Ciències de Göttingen
Alumnes	Paul Bernays i Anton Suixkévitx
Obra
Obres destacables Mètode de Frobenius Grup de Frobenius Indicador de Frobenius-Schur Forma normal de Frobenius Nombre pseudo-primer de Frobenius Inequació de Frobenius Teorema de Frobenius-König Varietat de Frobenius Teorema de Frobenius Teorema de Rouché-Frobenius Producte escalar de Frobenius Matriu de Frobenius Teorema de Frobenius Teorema de Perron-Frobenius àlgebra de Frobenius Endomorfisme de Frobenius Teoria de la representació
Estudiant doctoral	Ernst Jacobsthal, Richard Fuchs, Edmund Landau, Issai Schur, Konrad Knopp, Walter Schnee, Fiodor Busse, Robert Jentzsch, Robert Remak, Erich Stiemke, Hermann Bröcker, Karl Fischer, Friedrich Steinbacher, George Ilshausen, Rudolf Ziegel, Alexander Radzig i Arthur Hamburger
Localització dels arxius	Arxius de l'Escola Politècnica Federal de Zúric [ CH-001807-7:Hs 1006]

Ferdinand Georg Frobenius (Charlottenburg, 26 d'octubre de 1849 - Berlín, 3 d'agost de 1917) va ser un matemàtic alemany conegut per les seves contribucions a la teoria de les funcions el·líptiques, equacions diferencials, teoria de matrius i determinants i teoria de grups. També és conegut per les famoses identitats en determinants, conegudes com a fórmules de Frobenius-Stickelberger, que regeixen les funcions el·líptiques, i per el desenvolupament de la teoria de les formes biquadràtiques. També va ser el primer en introduir el concepte d'aproximacions racionals de les funcions (avui conegut com a aproximacions de Padé), i va donar la primera prova completa del teorema de Cayley-Hamilton. En la física matemàtica moderna duen el seu nom certs objectes geomètrics diferencials, coneguts com varietats de Frobenius.

Biografia

Ferdinand Georg Frobenius va néixer el 26 octubre 1849 a Charlottenburg, actualment un barri de Berlín, però aleshores una vila independent; els seus pares foren Christian Ferdinand Frobenius, un pastor protestant, i Christine Elizabeth Friedrich. Va entrar al Gymnasium Joachimsthal el 1860 quan tenia gairebé onze anys. En 1867, després de graduar-se, se'n va anar a la Universitat de Göttingen, on va començar els seus estudis universitaris, però només va estudiar allà durant un semestre abans de tornar a Berlín, on va assistir a les classes de Kronecker, Kummer i Weierstrass. Va rebre el seu doctorat (guardonat amb distinció) el 1870 sota la supervisió de Weierstrass. La seva tesi estava centrada en la solució d'equacions diferencials. Després d'haver exercit de professor per primera vegada a l'escola secundària Joachimsthal i, més tard, a l'escola secundària Sophienrealschule, el 1874 va ser nomenat professor extraordinari de matemàtiques a la Universitat de Berlín. Frobenius va estar a Berlín un any abans d'anar a Zúric per prendre un càrrec com a professor ordinari en la Eidgenössische Politècnic. Durant disset anys, entre 1875 i 1892, Frobenius va treballar a Zuric. Allà es va casar, va formar la seva família, i va fer la feina més important en diferents àrees de les matemàtiques. En els últims dies de desembre 1891 Kronecker va morir i, per tant, la seva càtedra a Berlín va quedar vacant. Weierstrass, creient fermament que Frobenius era la persona adequada per mantenir Berlín en l'avantguarda de les matemàtiques, va utilitzar la seva considerable influència perquè Frobenius fos nomenat. El 1893 va tornar a Berlín, on va ser elegit membre de l'Acadèmia Prussiana de les Ciències. A partir de començaments del 1916 la seva salut es va començar a deteriorar per problemes de cor i va morir a Berlín l'any següent.

Contribucions a la teoria de grups

La teoria de grups va ser un dels principals interessos de Frobenius durant la segona meitat de la seva carrera, quan era a Berlín. Les seves contribucions en aquest camp van ser punteres: el teorema de Rouché-Frobenius, la definició de rang d'una matriu, l'estudi de les matrius positives irreductibles, ... Però, segurament, la seva aportació més original va ser la invenció de la teoria de la representació dels grups finits. Efectivament, les cartes creuades amb Dedekind el 1896 sobre el problema de la factorització del grup determinant, contenen el primer registre escrit sobre la teoria de la representació dels grups finits.

Contribucions a la teoria de nombres

Malauradament, el gran impacte que va tenir la teoria de la representació, ha fet que no s'hagin estudiat en profunditat la resta de les seves aportacions en altres camps de les matemàtiques: com la teoria de nombres, l'àlgebra de Frobenius, les condicions d'integrabilitat de les equacions diferencials (el conegut com teorema de Frobenius), els grups de Frobenius, ...

Frobenius va introduir una forma canònica de convertir els nombres primers en classes de conjugació de grups de Galois en $\mathbb {Q}$. Específicament, si $K/\mathbb {Q}$ és una extensió finita de Galois llavors a cada un (positiu) primer $p$ que no ramifiquen en $K$ i a cada ideal primer $p$, s'estén sobre $p$ a $K$ no és un element únic $G$ de Gal ($K/\mathbb {Q}$) que satisfà la condició $G(x)=x^{p}(modP)$ per a tots els enters $X\in K$. Variant $P$ a $P'$ canvis $g$ en un conjugat (i cada conjugat de $g$ es produeix d'aquesta manera), de manera que la conjugació de la classe $g$ al grup de Galois està canònicament associat a $p$. Això es coneix com la classe de conjugació de Frobenius de $p$ i qualsevol element de la classe de conjugació es diu que és un element de Frobenius de $p$. Si donem per $K$ de la $m$ el camp ciclotòmic, el grup de Galois sobre $\mathbb {Q}$ són les unitats de mòdul $m$ (i per tant és abelià, de manera que les classes es converteixen en elements de conjugació), després de $p$ no $m$, dividint a la classe de Frobenius en el grup de Galois és $pm$ mod. Des d'aquest punt de vista, la distribució de Frobenius de classes de conjugació dels grups de Galois sobre $\mathbb {Q}$ (o, més generalment, els grups de Galois sobre qualsevol cos de nombres) generalitza el resultat clàssic de Dirichlet dels nombres primers en les progressions aritmètiques. L'estudi dels grups de Galois d'infinit grau, extensions de $\mathbb {Q}$ depèn fonamentalment de la construcció d'elements de Frobenius, que proporciona, d'alguna manera un subconjunt dens d'elements que són accessibles a un estudi detallat.

Publicacions

Els seus col·legues el consideraven un estilista de primera classe, que escrivia clara i entenedorament, sense intentar enganyar el lector amb frases buides. No va publicar mai cap llibre, però sí una multitud d'articles científics a les revistes de matemàtiques més importants.

El 1968 Jean-Pierre Serre va editar les seves Obres Escollides en tres volums, en les que es recullen 107 articles publicats entre 1870 i 1917 (més de 2100 pàgines):

• Frobenius, Ferdinand Georg. Jean-Pierre Serre (ed.). Ferdinand Georg Frobenius: Gesammelte Abhandlungen. Springer, 1968. ISBN 978-3-540-04120-7. 

Bibliografia

• Barrios García, Javier A.; González Concepción, Concepción; Moreno Piquero, Juan Carlos. Algebra matricial para economía y empresa (en castellà). Delta, Publicaciones Universitarias, 2006. ISBN 84-96477-32-0. 
• Curtis, Charles W. «Frobenius and the Invention of Character Theory». A: Pioneers of Representation Theory: Frobenius, Burnside, Schur, and Brauer (en anglès). American Mathematical Society, 1999, p. 35-86. ISBN 0-8218-9002-6. 
• Gerovitch, Slava. «Historical Interlude: Georg Frobenius's "Principle of Horse Trade"». A: Pavel I. Etingof, Oleg Golberg, Sebastian Hensel , Tiankai Liu , Alex Schwendner , Dmitry Vaintrob , Elena Yudovina (eds.). Introduction to Representation Theory (en anglès). American Mathematical Society, 2011, p. 77-80. ISBN 978-0-8218-5351-1. 
• Hawkins, Thomas «Frobenius, Cartan, and the Problem of Pfaff» (en anglès). Archive for History of Exact Sciences, Vol. 59, Num. 4, 2005, p. 39-56. DOI: 10.1007/s00407-004-0095-4. ISSN: 0003-9519.
• Hawkins, Thomas «Frobenius and the symbolical algebra of matrices» (en anglès). Archive for History of Exact Sciences, Vol. 62, Num. 1, 2008, p. 23-57. DOI: 10.1007/s00407-007-0006-6. ISSN: 0003-9519.
• Hawkins, Thomas. The Mathematics of Frobenius in Context (en anglès). Springer, 2013. ISBN 978-1-4614-6333-7. 
• Lam, T.Y. «Representations of Finite Groups: A Hundred Years» (en anglès). Notices of the American Mathematical Society, Vol. 45, Num. 3, 1998, p. 361-372. ISSN: 0002-9920.

Enllaços externs

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. «Ferdinand Georg Frobenius» (en anglès). MacTutor History of Mathematics archive. School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland.
• Wussing, H. «Frobenius, Georg Ferdinand» (en anglès). Complete Dictonary of Scientific Biography, 2008. [Consulta: 12 febrer 2026].
• Stuloff, Nikolaus. «Frobenius, Ferdinand Georg» (en alemany). Neue Deutsche Biographie, 1961. [Consulta: 12 febrer 2026].