Funció K

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca
Aquest article tracta sobre la funció K. Si cerqueu funció-k, vegeu «Funció de Bateman».

En matemàtiques, la funció K, normalment escrit K(z), és una funció especial que constitueix una extensió a un domini complex de la seqüència de nombres enters hiperfactorials H(n) de Neil Sloane i Simon Plouffe,[Nota 1] així com la funció gamma és una extensió complexa de la successió dels factorials.

Definició[modifica]

Formalment, la funció K es defineix com

També es pot donar en forma tancada com

on ζ'(z) denota la derivada de la funció zeta de Riemann, i ζ(a,z) denota la funció zeta d'Hurwitz, i

Una altra funció, usant la funció poligamma, és [2]

O usant la generalització equilibrada de la funció poligamma:[3]

on A és la constant de Glaisher-Kinkelin.

Més prosaicament, es pot escriure

o

El 2003, Benoit Cloitre va demostrar que

Relació amb la funció G-Barnes[modifica]

La funció K està estretament relacionada amb la funció gamma i amb la funció G-Barnes; per als nombres naturals n, tenim

També tenim

[1]

per a tot

Valors particulars[modifica]

Els primers valors de la funció són:[4]

K(0) = 1

K(1) = 1

K(2) = 4

K(3) = 108

K(4) = 27.648

K(5) = 86.400.000

K(6) = 4.031.078.400.000

K(7) = 3.319.766.398.771.200.000

K(8) = 55.696.437.941.726.556.979.200.000

K(9) = 21.577.941.222.941.856.209.168.026.828.800.000

K(10) = 215.779.412.229.418.562.091.680.268.288.000.000.000.000.000

El valor de ve donat per

on representa la constant de Glaisher-Kinkelin.[1]

Notes[modifica]

  1. Per a la funció K, s'aplica
    on H(n) es l'hiperfactorial d'un nombre natural , que es defineix com
    [1]

Referències[modifica]

Enllaços externs[modifica]