Funció d'una variable complexa diferenciable en sentit real

De Viquipèdia
Jump to navigation Jump to search

Aquest article serveix d'introducció a l'article sobre les equacions de Cauchy-Riemann. S'hi defineix les derivades parcials (respecte a o ) i la diferenciabilitat en sentit real de les funcions (de valor complex) d'una variable complexa.


Considerem aquí una funció d'una variable complexa, definida en un obert U de . Emprem les notacions següents :

  • la variable complexa es nota per , on x, y són reals
  • les parts real i imaginària de es noten respectivament per i , és a dir : , on són dues funcions reals de dues variables reals.


Derivades parcials d'una funció d'una variable complexa[modifica]

Derivades parcials respecte a x i y[modifica]

Definició : sigui , on són reals.

  • diem que f té derivada parcial (primera) al punt respecte a la variable x, notada per si existeix el límit (finit)
  • diem que f té derivada parcial (primera) al punt respecte a la variable y, notada per si existeix el límit (finit)


Propietat :

  • la derivada parcial existeix si i només si les derivades parcials , existeixen, i aleshores
  • la derivada parcial existeix si i només si les derivades parcials , existeixen, i aleshores

Derivades parcials d'ordre superior :

  • si, per exemple, existeix en tot punt , es defineix la funció
  • si, a més a més, la funció té derivada parcial primera al punt respecte a la variable x, la notem per  : . Semblantment, si existeix , la notem per , etc.

Derivades parcials respecte a i [modifica]

Definició : suposem que f tingui derivades parcials primeres respecte a x i y al punt . Aleshores, definim :

Propietat : en conservar les hipòtesis precedents

Diferenciabilitat en sentit real de les funcions d'una variable complexa[modifica]

Es diu que una funció d'una variable complexa és diferenciable en sentit real, o -diferenciable en un punt si es pot aproximar localment (a l'entorn d'aquell punt) per la suma d'una constant i d'una funció -lineal, anomenada diferencial.


  • Definició : diem que una aplicació és -lineal si : .
    • (aleshores : )


  • Definició : diem que la funció és -diferenciable en un punt si existeixen una aplicació -lineal i una funció d'una variable complexa tals que quan i (suposant que , on r és el radi d'una bola tal que ).
    • Quan existeix, l'aplicació L és única (com a conseqüència de la propietat següent); s'anomena -diferencial o diferencial de en i es nota habitualment per .
    • Diem que és -diferenciable en U si és -diferenciable en tot punt de U.


  • Propietat : quan és -diferenciable en un punt , aleshores
    • és contínua en
    • té derivades parcials primeres en , i
      • .

demostració :

  • continuïtat : quan perquè (la -diferencial L és un endomorfisme d'un espai vectorial de dimensió finita, per tant és contínua) i .
  • existència i expressió de les derivades parcials primeres :
    • per a tot u real tal que , ; per tant, si , quan  : això prova l'existència de la derivada parcial de la funció en respecte a , i la igualtat
    • per a tot v real tal que , ; per tant, si , quan  : això prova l'existència de la derivada parcial de la funció en respecte a , i la igualtat .


  • Teorema : una condició suficient (no necessària) de -diferenciabilitat en un punt, o en un obert.
    • si té derivades parcials primeres respecte a x i y (o a i ) en tot punt d'un entorn de , i si , (o , ) són contínues en , aleshores és -diferenciable en
    • en particular, si té derivades parcials primeres respecte a x i y (o a i ) definides i contínues en tot punt de U, la funció és -diferenciable en U. En aquest cas, es diu que és -contínuament diferenciable en U, o de classe en U.